: ! -(3434)-(809)-(7483)-(1457) -(14632) -(1363)-(913)-(1438)-(451)-(1065)-(47672) -(912)-(14524) -(4268)-(17799)-(1338)-(13644)-(11121)-(55)-(373)-(8427)-(374)-(1642)-(23702)-(16968)-(1700)-(12668)-(24684)-(15423)-(506)-(11852) -(3308)-(5571)-(1312)-(7869)-(5454)-(1369)-(2801)-(97182)-(8706)-(18388)-(3217)-(10668) -(299)-(6455)-(42831)-(4793)-(5050)-(2929)-(1568)-(3942)-(17015)-(26596)-(22929)-(12095)-(9961)-(8441)-(4623)-(12629)-(1492) -(1748) ! | 4. w=f(z) z w -. wÎG z w=f(z), zÎD w. z w=f(z), (w=|z|, w= , w=Rez ..) z w, (w=Argz). (.. D ), w=f(z) D. , w=f(z) D G. w=f(z) wÎG : : . z w, G. . D , , , f(z) D. w=f(z) D (, w=zn), wÎG , zÎD: f(z)=w. , , . D w=f(z) F, f zÎD F . , , : D w=f(z) , , zÎD . , w=f(z). . . z=2i . ■ . k : . j . , , . ■ 3.5., w=z2 , . ■ w¢=2z. z k=|w¢(z)|=2|z|. , k>1, 2|z|>1 , , . , w=z2 , — . ■ w=f(z) (.. ) , . , f(z) , . , . , , Ι . , , ΙΙ (, ). . . , . , z0 w=f(z) w0, , w 0=f(z0), z0 f(z). , . w=f(z), , , , , . z . 3.3. , F(x,y)=0 ( y=j(x)), w=f(z) : 1. f(z): u=Ref(z), v=Imf(z). 2. . . 3.4. w=f(z) : 1. z=z(t) . 2. : — , z(t) w=f(z); — , z w=f(z), , . z . . 3.5. . . 1. . 3.3 3.4. 2. . , , . . 1. z w=f(z). 2. .1. , . — . . |z|=1 w=z2. ■ 1 ( 3.3). 1. z=x+iy, w=u+iv. u+iv =x2-y2+i2xy. : 2. . : u2+v2=x4-2x2y2+y4+2x2y2= x4+2x2y2+y4=(x2+y2)2. , : u2+v2=1 |w|2=1, |w|=1. , |z|=1 |w|=1, . , w=z2, Argw=2Argz+2pk. z |z|=1, |w|=1 . 2 ( 3.4). 1. : z=eit(0£t£2p). 2. z=eit w=z2: w=ei2t=cos2t+isin2t. , |w|2=cos22t+sin22t=1, |w|=1 . ■ . = w=z3. ■ , 3.3. 1. w=z3=(x+iy)3=x3+3x2iy+3x(iy)2+(iy)3=x3-3xy2+i(3x2y-y3). , 2. =: , v=-u. , I III II IV uOv. ■ 1. w=az+b, (4.1) , b- . , . , , . Arga, . a=1, , , . w=z+b. . , , . , : w1=rz- r=|a|; w2=eijw1=rzeij — j=arga ; w=w2+b=reijz+b — . , w=az+b |a| , j=arga . , z- w — ( ); . . w=2iz-3i. ■ 1 ( 3.4). . 1. Oy: x=0, -¥<y<+¥, z=iy, -¥<y<+¥. , . 2. z=iy w=2iz-3i: w=-2y-3i, -¥<y<+¥. ( ). , : u=-2y, v=-3 v=-3, -¥<u<+¥. uOv, . 2 . . , . , , . z1=0, z2=i, w1=-3i, w2=-2-3i Imw=-3., v=-3. 3 (). w=2iz-3i , a=2i, b=-3i, |a|=2, . , ( ) , 3 . 2 , . ■ . — , |z-i|=1 |w-3|=2. ■ . . . 1. . w1=z-i. 2. w1 , 2 , w2=2w1. 3. 3 : w=w2+3. : w=2(z-i)+3, w=2z+3-2i . , . ■ 2. — — , (4.2) a, b, c, d — , , . — 1 w=L(z) , . 2 — w=L(z) , ( , , , ). , w=L(z) , (w), , d, — (w). 3 — , . . . , — : . — : . (4.3) , zk wk ¥, : , ¥, 1. 4 z1 z2 g, — w=L(z) w1 w2 g: . . z z* |z-z0|=R, , , , |z-z0|×|z*-z0|=R2. (4.4) , z0 , , . 5 ( , ) — g g¢ , D, g, , g¢. : — g D (), g¢ D¢ (). . — w=L(z), , w(i)=2i, w(¥)=1, w(-1)=¥. ■ z1=i, z2=¥, z3=-1 w1=2i, w2=1, w3=¥. (4.3), , z2 w3 ¥: . : -w-wi+2i-2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+i Û — . ■ . D: . ■ D — Rez<1 . 3.5 (1 ). 1. D, , Rez=1 . z=1, . 3.4. ) Rez=1. : . z : wz-w=iz Û z(w-i)=w Û . . : . Rez=1 Imw=1, . ) . |2z-1|=1. z |2z-1|=1. . , i i. , , i i, , Imw=0. , D Imw=1 Imw=0. 2. .2. 3.5 , , z=-1ÎD. , Imw=1 Imw=0. , 0< Imw<1. ■ 3. z=x+iy , expz ( z) . expz 1 , expz=expx=ex, .. . expz ez. 2 ( ) . 3 . 4 . . 5 expz — 2pi, .. exp(z+2pi)=expz. 6 , , . , , . . 7expz — . 2p, : . , , , . 8 , (expz)¢=expz. . , , e2-i. ■ . z=2-i, x=Rez=2, y=Imz=-1. . , , . (1.7). ■ w=expz : 2014-11-06; : 45572; ?; ! ! ? | : |
Свойства регулярных отображений
1. Регулярное отображение непрерывно в обе стороны, т.е. достаточно близким точкам при отображении в одну сторону и в другую соответствуют сколь угодно близкие точки.
2. При регулярном отображении внутренние точки области D переходят во внутренние точки области G; граничные точки области D — в граничные точки области G и, наоборот, при обратном отображении.
3. При регулярном отображении кривая отображается в кривую.
4. Абсолютная величина якобиана при регулярном отображении равна пределу отношения меры отображенной области и первоначальной при стягивании их в точку:
d — диаметр области.
Таким образом, — коэффициент растяжения областей или величина искажения масштаба в точке z при отображении с помощью функции
Выведем формулу для нахождения коэффициента:
(по КРЭДу) или .
Тогда, коэффициент растяжения будет равен . (14)
Определение 36.Регулярное отображение области D плоскости (Oxy) на область G плоскости (Оuv) посредством гармонической пары или, что то же самое, аналитической функции, называется конформным, если в каждой точке оно обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений.
Если представить себе плоскости (z) и совмещенными, то каждый малый вектор с вершиной в точке z0 при отображении будет перенесен вершиной в , растянут в k0 раз и повернут на угол α0. Поэтому и вся малая окрестность точки z0 при рассматриваемом отображении испытает поступательный перенос, всестороннее растяжение и поворот. Образ каждой малой фигуры, расположенной в области G, будет, с точностью до малых высшего порядка, геометрически подобен прообразу, т.е. малый круг переходит в круг, а углы между пересекающимися линиями сохраняются.
Лемма. При аналитическом отображении ориентация плоскости сохраняется, т.е. если обходить малый замкнутый контур плоскости (z) в некотором направлении, то и образ будет обходиться в том же направлении. И обратно, если некоторое отображение плоскости сохраняет подобие бесконечно малых фигур (или даже только углы между пересекающимися линиями) и ориентацию плоскости, то это отображение аналитическое.
В связи со сказанным можно дать другое определение конформности:
Определение 37.Взаимно однозначное отображение некоторой плоской области, при котором сохраняются подобие бесконечно малых фигур и ориентация плоскости, называется конформным; если подобие сохраняется, но ориентация меняется на противоположную, то отображение называется антиконформным.
Теорема 8.Отображение посредством аналитической функции конформно при условии, что якобиан .
Рассмотрим подробнее сказанное о сохранении углов и постоянстве растяжений при конформных отображениях.
Пусть — аналитическая функция в области D. Пусть задается взаимно-однозначное отображение области D плоскости (z) на область G плоскости посредством данной аналитической функции. Если точка (x,y) на плоскости (Oxy) описывает некоторую линию Г, расположенную в области D, то соответствующая точка (u,v) на плоскости (Оuv) опишет линию Г /, расположенную в области G (рис. 15).
Линию Г / называют отображением или образом линии Г на плоскость (Оuv) с помощью аналитической функции.
1) О сохранении углов.
Возьмем на линии Г точку (см. рис. 15). Этой точке на линии Г / соответствует точка Проведем к линии Г касательную L в точке (x0, y0), а к линии Г / — касательную в точке
Пусть α — угол, на который нужно повернуть касательную L, чтобы ее направление совпало с направлением прямой , т.е. это угол между касательными к первоначальной и отображенной кривым: .
Можно доказать, что .
Пусть — угол между осью (Ох) и касательной L к кривой Г, тогда /- угол между осью (Оu) и касательной к кривой Г/, угол между L и . Если поворот от L к происходит против часовой стрелки, если поворот от L к происходит по часовой стрелке.
Геометрический смысл аргумента производной:
— (15)
аргумент производной функции в точке геометрически равен углу , на который нужно повернуть касательную L в точке к кривой Г, чтобы получить касательную в точке ω0 к образу этой кривой Г/.
Рассмотрим другую линию γ, также проходящую через точку (x0, y0), и ее отображение — линию , проходящую через точку (рис. 15). Пусть l — касательная к кривой γ в точке (x0, y0), — касательная к кривой в точке
Для того чтобы направление прямой l совпало с направлением прямой надо и в этом случае прямую l повернуть на угол α, т.к. α зависит только от значения производной и не зависит от уравнения кривой.
Вывод 1. Две произвольные линии, пересекающиеся в точке (x0, y0), отображаются посредством функции в две соответствующие линии, пересекающиеся в точке так, что угол β между касательными к данным и между касательными к отображенным линиям один и тот же.
Замечание. Из свойства сохранения углов вытекает, в частности, что линии и плоскости (x,y) образуют два взаимно ортогональных семейства линий. Это дает возможность, задаваясь различными аналитическими функциями , получать разнообразные ортогональные системы координат на плоскости.
2) О постоянстве растяжений.
Рассмотрим коэффициент растяжения k. Пусть аналитическая функция отображает кривую Г1 в кривую γ1, кривую Г2 в кривую γ2, причем точка отображается в точку ω0, , (рис. 16).
Тогда — предел отношения растяжений или .
Замечание. При конформном отображении сохраняется подобие лишь бесконечно малых фигур, тогда как форма конечных фигур может существенно измениться. Например, квадрат плоскости (z), разбитый на 4 квадратика, может отобразиться на криволинейную фигуру с прямыми углами на плоскости (рис. 17). Дело в том, что хотя каждый малый участок плоскости (z) при отображении испытывает всестороннее растяжение и поворот, но для разных участков коэффициенты растяжения и углы поворота различны, что и приводит к такому искажению.
Пусть отрезок АВ посредством аналитической функции отображается в кривую (рис. 18). Тогда коэффициент растяжения — предел отношения длины дуги к длине отрезка. Следовательно, и любой другой отрезок растягивается ровно в k раз в плоскости (Оuv) при этом отображении.
При k > 1 имеет место растяжение, при k < 1 — сжатие.
Ранее вывели, что коэффициент растяжения может быть найден по формуле (14): .
Из теоремы 5 известно, что производная аналитической функции в точке z0 находится по формуле (11): Найдем модуль полученной после дифференцирования ФКП : и сравним полученное выражение с выражением (14). Видно, что . Для существования отображения должно быть , что гарантирует теорема 8, так как .
Геометрический смысл модуля производной:
— (16)
модуль производной функции в точке геометрически равен коэффициенту растяжения в точке при отображении .
Вывод 2. При отображении аналитической функцией наблюдается постоянство растяжений (сжатий), следовательно, отображение, осуществляемое аналитической функцией, конформно.
Определение 38.Функция называется однолистной в области D, если любым различным значениям , взятым из области D, соответствуют различные значения функции . Другими словами, если функция, обратная к , однозначная, то отображение называется однолистным.
Однолистность означает, что при отображении плоскость (z) покрывает плоскость только один раз.
Критерий конформности отображения:Для того чтобы отображение области D, задаваемое функцией , было конформным, необходимо и достаточно, чтобы была однолистной и аналитической в области D функцией, причем всюду в D.
Общий вывод из 1) и 2).Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции состоит в том, что при отображении, осуществляемом этой функцией, удовлетворяющей условию , коэффициент растяжения k определяет коэффициент преобразования подобия бесконечно малого линейного элемента в точке z0 , а α — угол поворота этого элемента.
Пример 26.Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке для отображения
Комплексного переменного, геометрический смысл производной
Голоморфные (аналитические) функции Предварительно следует прочитать п.. из [1]. Пусть G и D — области на комплексной плоскости и — отображение из в ( ). Говорят, что функция дифференцируема в точке , если существует число такое, что приращение функции можно представить в виде для всех из некоторой окрестности точки , где бесконечно малая функция имеет в точке более высокий порядка малости, чем , то есть . Если дифференцируема в точке , то, как и в случае функций действительного переменного, является производной функции в точке и . Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Коши-Римана Говорят, что функция голоморфная (аналитическая) в точке , если она дифференцируема в точке и в некоторой окрестности точки и производная непрерывна в точке . Модуль производной есть коэффициент линейного растяжения при отображении в точке , а аргумент производной равен углу поворота при отображении любого направления исходящего из точки . Функция называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа . Действительная и мнимая части голоморфной (аналитической) функции являются гармоническими функциями. 1.4.1. Выяснить, где голоморфна функция . Так как , , то получаем , , , . Условия Коши-Римана выполнены во всех точках комплексной плоскости, поэтому функция аналитическая (голоморфная) во всей комплексной плоскости. 1.4.2. Выяснить, где голоморфна функция . Так как , , то получаем , , , . Условия Коши-Римана не выполнены ни в одной точке комплексной плоскости, поэтому функция не является аналитической (голоморфной) ни в одной точке комплексной плоскости. 1.4.3. Какая часть комплексной плоскости сжимается и какая растягивается при отображении ? Плоскость растягивается, когда коэффициент линейного растяжения больше единицы и сжимается, когда этот коэффициент больше нуля и меньше единицы. Коэффициент линейного растяжения функции имеющей производную равен модулю производной. Так как , то . Следовательно, точки в которых плоскость растягивается, удовлетворяют неравенству , откуда получаем , или, что тоже самое, . Аналогично показывается, что плоскость сжимается при . 1.4.4. Для отображения найти точки, в которых коэффициент линейного растяжения равен 0. Имеем , . Следовательно , откуда получаем . (Физический смысл). 1.4.5. Для отображения найти точки, в которых угол поворота равен 0. Так как , то Приравнивая аргумент к нулю, получаем . Поэтому угол поворота любого направления равен нулю на оси 1.4.6. Восстановить голоморфную (аналитическую) функцию, если а) . Проверяем, является ли гармонической функцией. Имеем , , , . Поэтому . Следовательно, функция не является гармонической и не может быть действительной частью голоморфной (аналитической) функции. б) . Проверяем, является ли гармонической функцией. Имеем , , , . Поэтому . Следовательно, функция гармоническая и может быть действительной частью голоморфной (аналитической) функции. Далее, . Используя условия Коши-Римана, можем это соотношение переписать в виде . Так как криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то получаем, с точностью до константы, . Таким образом, . Читайте также: Рекомендуемые страницы: Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда… ©2015-2021 poisk-ru.ru Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2017-06-30 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных | Поиск по сайту: Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! |
- Moustafine R. I., Bukhovets A. V., Sitenkov A. Y., Kemenova V. A., Rombaut P., Van den Mooter G. Eudragit® E PO as a complementary material for designing oral drug delivery systems with controlled release properties: comparative evaluation of new interpolyelectrolyte complexes with countercharged Eudragit® L 100 copolymers. Molecular Pharmaceutics. 2013; 10(7): 2630–2641. DOI: 10.1021/mp4000635.
- ОФС.1.2.1.2.0003.15 Тонкослойная хроматография // Государственная фармакопея, XIII изд.
- Puccinotti, «Storia della medicina» (Ливорно, 1954—1959).
- https://studopedia.su/11_110135_konformnie-otobrazheniya-elementarnie-funktsii-kompleksnogo-peremennogo.html.
- https://studopedia.ru/12_116123_svoystva-regulyarnih-otobrazheniy.html.
- https://poisk-ru.ru/s6666t7.html.
- Haeser, «Handbuch der Gesch. d. Medicin».
- Wise, «Review of the History of Medicine» (Л., 1967).