?

Растяжение и сжатие графиков функций

Список функций, изученных в 7 и 8 классе

Растяжение и сжатие графика по оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), y_2 = f(px) $$

где $p gt 1$, произвольный положительный множитель.

Пусть p = 2.

Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2 $ $y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = f(2x) = frac{4}{(2x)} = frac{2}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1 $ График сжимается в 2 раза по оси OX
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = f(2x) = sqrt{2x}$ $y_2=y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX

Теперь сравним пары функций с делением на p:

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f left( frac{x}{p} right), quad p gt 1 $$

Пусть p = 2

Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f left(frac{x}{2}right) = left(frac{x}{2}right)^2 = frac{x^2}{4} $ $y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = f left(frac{x}{2}right) = frac{4}{x/2} = frac{8}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = f left(frac{x}{2}right) = sqrt{frac{x}{2}}$ $y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(px), quad p gt 1 $$

график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f Biggl(frac{x}{p}Biggr), quad p gt 1 $$

график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Растяжение и сжатие графика по оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x) $$

где $A gt 1$, произвольный положительный множитель.

Пусть A = 2.

Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = 2f(x) = 2x^2 $ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = 2f(x) = frac{8}{x}$ $ y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = 2f(x) = 2sqrt{x}$ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY

Теперь сравним пары функций с делением на A:

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$

Пусть A = 2

Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{x^2}{2}$ $y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{2}{x}$ $ y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{sqrt{x}}{2}$ $y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x), quad A gt 1 $$

график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$

график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Примеры

Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

$$ y = sqrt{x}, y = sqrt{3x}, y = sqrt{frac{x}{3}}, y = 3sqrt{x} $$

Сделайте выводы.

По сравнению с графиком $y = sqrt{x}$:

• график функции $y = sqrt{3x}$ сжимается в 3 раза по оси OX(←)
• график функции $y = sqrt{frac{x}{3}}$ растягивается в 3 раза по оси OX(→)
• график функции $y = 3sqrt{x}$ растягивается в 3 раза по оси OY(↑)

Пример 2*. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:

$$ y = f(x), y = f(2x), y = f Biggl(frac{x}{2}Biggr), y = 2f(x) $$

где $f(x) = x^2+3x+2$

Сделайте выводы.

Исходная функция $y = f(x) = x^2+3x+2$

Остальные функции

$$ y = f(2x) = (2x)^2+3 cdot (2x)+2 = 4x^2+6x+2 $$

$$ y = fBiggl(frac{x}{2}Biggr) = Biggl(frac{x}{2}Biggr)^2+3 cdot Biggl(frac{x}{2}Biggr) +2 = frac{x^2}{4}+ frac{3}{2} x+2 $$

$$ y = 2f(x) = 2x^2+6x+4 $$

Получаем:

По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2+3x+2$:

• график функции y = f(2x) сжимается в 2 раза по оси OX(→)
• график функции $y = f left(frac{x}{2}right)$ растягивается в 2 раза по оси OX(←)
• график функции y = 2f(x) растягивается в 2 раза по оси OY(↑)

Рейтинг пользователей

Преобразование графиков элементарных функций

Основные элементарные функции в чистом виде без преобразования встречаются редко, поэтому чаще всего приходится работать с элементарными функциями, которые получили из основных с помощью добавления констант и коэффициентов. Такие графики строятся при помощи геометрических преобразований заданных элементарных функций.

Рассмотрим на примере квадратичной функции вида y = — 1 3 x + 2 3 2 + 2 , графиком которой является парабола y = x 2 , которая сжата втрое относительно О у и симметрична относительно О х , причем сдвинутую на 2 3 по О х вправо, на 2 единицы по О у вверх. На координатной прямой это выглядит так:

Геометрические преобразования графика функции

Применяя геометрические преобразования заданного графика получаем, что график изображается функцией вида ± k 1 · f ( ± k 2 · ( x + a ) ) + b , когда k 1 > 0 , k 2 > 0 являются коэффициентами сжатия при 0 < k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 > 1 , k 2 > 1 вдоль О у и О х . Знак перед коэффициентами k 1 и k 2 говорит о симметричном отображении графика относительно осей, a и b сдвигают ее по О х и по О у .

Определение 1

Существует 3 вида геометрических преобразований графика:

• Масштабирование вдоль О х и О у . На это влияют коэффициенты k 1 и k 2 при условии не равности 1 , когда 0 < k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у , а растягивается по О х , когда k 1 > 1 , k 2 > 1 , то график растягивается по О у и сжимается по О х .
• Симметричное отображение относительно координатных осей. При наличии знака « — » перед k 1 симметрия идет относительно О х , перед k 2 идет относительно О у . Если « — » отсутствует, тогда пункт при решении пропускается;
• Параллельный перенос (сдвиг) вдоль О х и О у . Преобразование производится при наличии коэффициентов a и b неравных 0 . Если значение a положительное, до график сдвигается влево на | а | единиц, если отрицательное a , тогда в право на такое же расстояние. Значение b определяет движение по оси О у , что значит при положительном b функция движется вверх, при отрицательном — вниз.

Степенная функция

Рассмотрим решения на примерах, начиная со степенной функции.

Пример 1

Преобразовать y = x 2 3 и построить график функции y = — 1 2 · 8 x — 4 2 3 + 3 .

Решение

Представим функции таким образом:

y = — 1 2 · 8 x — 4 2 3 + 3 = — 1 2 · 8 x — 1 2 2 3 + 3 = — 2 x — 1 2 2 3 + 3

Где k 1 = 2 , стоит обратить внимание на наличие « — » , а = — 1 2 , b = 3 . Отсюда получаем, что геометрические преобразования производятся с растяжения вдоль О у вдвое, отображается симметрично относительно О х , сдвигается вправо на 1 2 и вверх на 3 единицы.

Если изобразить исходную степенную функцию, получим, что

при растягивании вдвое вдоль О у имеем, что

Отображение, симметричное относительно О х , имеет вид

а движение вправо на 1 2

движение на 3 единицы вверх имеет вид

Показательная функция

Преобразования показательной функции рассмотрим на примерах.

Пример 2

Произвести построение графика показательной функции y = — 1 2 1 2 ( 2 — x ) + 8 .

Решение.

Преобразуем функцию, исходя из свойств степенной функции. Тогда получим, что

y = — 1 2 1 2 ( 2 — x ) + 8 = — 1 2 — 1 2 x + 1 + 8 = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x + 8

Отсюда видно, что получим цепочку преобразований y = 1 2 x :

y = 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 1 2 x → → y = — 1 2 · 1 2 1 2 x → y = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x → → y = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x + 8

Получаем, что исходная показательная функция имеет вид

Сжимание вдвое вдоль О у дает

Растягивание вдоль О х

Симметричное отображение относительно О х

Отображение симметрично относительно О у

Сдвигание на 8 единиц вверх

Логарифмическая функция

Рассмотрим решение на примере логарифмической функции y = ln ( x ) .

Пример 3

Построить функцию y = ln e 2 · — 1 2 x 3 при помощи преобразования y = ln ( x ) .

Решение

Для решения необходимо использовать свойства логарифма, тогда получаем:

y = ln e 2 · — 1 2 x 3 = ln ( e 2 ) + ln — 1 2 x 1 3 = 1 3 ln — 1 2 x + 2

Преобразования логарифмической функции выглядят так:

y = ln ( x ) → y = 1 3 ln ( x ) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln — 1 2 x → y = 1 3 ln — 1 2 x + 2

Изобразим график исходной логарифмической функции

Производим сжимание строе по О у

Производим растягивание вдоль О х

Производим отображение относительно О у

Производим сдвигание вверх на 2 единицы, получаем

Для преобразования графиков тригонометрической функции необходимо подгонять под схему решения вида ± k 1 · f ( ± k 2 · ( x + a ) ) + b . Необходимо , чтобы k 2 приравнивался к T k 2 . Отсюда получаем, что 0 < k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х , при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

Преобразования y = sin x

Рассмотрим примеры решения заданий с преобразованиями y = sin x .

Пример 4

Построить график y = — 3 sin 1 2 x — 3 2 — 2 с помощью преобразований функции y=sinx.

Решение

Необходимо привести функцию к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Для этого:

y = — 3 sin 1 2 x — 3 2 — 2 = — 3 sin 1 2 ( x — 3 ) — 2

Видно, что k 1 = 3 , k 2 = 1 2 , a = — 3 , b = — 2 . Так как перед k 1 имеется « — » , а перед k 2 — нет, тогда получим цепочку преобразований вида:

y = sin ( x ) → y = 3 sin ( x ) → y = 3 sin 1 2 x → y = — 3 sin 1 2 x → → y = — 3 sin 1 2 x — 3 → y = — 3 sin 1 2 ( x — 3 ) — 2

Подробное преобразование синусоиды. При построении графика исходной синусоиды y = sin ( x ) получаем, что наименьшим положительным периодом считается T = 2 π . Нахождение максимума в точках π 2 + 2 π · k ; 1 , а минимума — — π 2 + 2 π · k ; — 1 , k ∈ Z .

Производится растягивание по О у втрое, значит возрастание амплитуды колебаний возрастет в 3 раза. T = 2 π — это наименьший положительный период. Максимумы переходят в π 2 + 2 π · k ; 3 , k ∈ Z , минимумы — — π 2 + 2 π · k ; — 3 , k ∈ Z .

При растягивании по О х вдвое получаем, что наименьший положительный период увеличивается в 2 раза и равняется T = 2 π k 2 = 4 π . Максимумы переходят в π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , минимумы — в — π + 4 π · k ; — 3 , k ∈ Z .

Изображение производится симметрично относительно О х . Наименьший положительный период в данном случае не меняется и равняется T = 2 π k 2 = 4 π . Переход максимума выглядит как — π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , а минимума — π + 4 π · k ; — 3 , k ∈ Z .

Производится сдвижение графика вниз на 2 единицы. Изменение наименьшего общего периода не происходит. Нахождение максимумов с перехождением в точки — π + 3 + 4 π · k ; 1 , k ∈ Z , минимумов — π + 3 + 4 π · k ; — 5 , k ∈ Z .

На данном этапе график тригонометрической функции считается преобразованным.

Преобразование функции y = cos x

Рассмотрим подробное преобразование функции y = cos x .

Пример 5

Построить график функции y = 3 2 cos 2 — 2 x + 1 при помощи преобразования функции вида y = cos x .

Решение

По алгоритму необходимо заданную функцию привести к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Тогда получаем, что

y = 3 2 cos 2 — 2 x + 1 = 3 2 cos ( — 2 ( x — 1 ) ) + 1

Из условия видно, что k 1 = 3 2 , k 2 = 2 , a = — 1 , b = 1 , где k 2 имеет « — » , а перед k 1 он отсутствует.

Отсюда получаем, что получится график тригонометрической функции вида:

y = cos ( x ) → y = 3 2 cos ( x ) → y = 3 2 cos ( 2 x ) → y = 3 2 cos ( — 2 x ) → → y = 3 2 cos ( — 2 ( x — 1 ) ) → y = 3 2 cos — 2 ( x — 1 ) + 1

Пошаговое преобразование косинусоиды с графической иллюстрацией.

При заданной графике y = cos ( x ) видно, что наименьший общий период равняется T = 2 π . Нахождение максимумов в 2 π · k ; 1 , k ∈ Z , а минимумов π + 2 π · k ; — 1 , k ∈ Z .

При растягивании вдоль О у в 3 2 раза происходит возрастание амплитуды колебаний в 3 2 раза. T = 2 π является наименьшим положительным периодом. Нахождение максимумов в 2 π · k ; 3 2 , k ∈ Z , минимумов в π + 2 π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .

При сжатии вдоль О х вдвое получаем, что наименьшим положительным периодом является число T = 2 π k 2 = π . Производится переход максимумов в π · k ; 3 2 , k ∈ Z ,минимумов — π 2 + π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .

Симметричное отображение относительно О у . Так как график нечетный, то он не будет изменяться.

При сдвигании графика на 1 . Отсутствуют изменения наименьшего положительного периода T = π . Нахождение максимумов в π · k + 1 ; 3 2 , k ∈ Z , минимумов — π 2 + 1 + π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .

При сдвигании на 1 наименьший положительный период равняется T = π и не изменен. Нахождение максимумов в π · k + 1 ; 5 2 , k ∈ Z , минимумов в π 2 + 1 + π · k ; — 1 2 , k ∈ Z .

Преобразования функции косинуса завершено.

Преобразования y = tgx

Рассмотрим преобразования на примере y = t g x .

Пример 6

Построить график функции y = — 1 2 t g π 3 — 2 3 x + π 3 при помощи преобразований функции y = t g ( x ) .

Решение

Для начала необходимо привести заданную функцию к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b , после чего получаем, что

y = — 1 2 t g π 3 — 2 3 x + π 3 = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 + π 3

Отчетливо видно, что k 1 = 1 2 , k 2 = 2 3 , a = — π 2 , b = π 3 , а перед коэффициентами k 1 и k 2 имеется « — » . Значит, после преобразования тангенсоиды получаем

y = t g ( x ) → y = 1 2 t g ( x ) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = — 1 2 t g 2 3 x → → y = — 1 2 t g — 2 3 x → y = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 → → y = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 + π 3

Поэтапное преобразование тангенсоиды с графическим изображением.

Имеем, что исходный график — это y = t g ( x ) . Изменение положительного периода равняется T = π . Областью определения считается — π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Сжимаем в 2 раза вдоль О у . T = π считается наименьшим положительным периодом, где область определения имеет вид — π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Растягиваем вдоль О х в 3 2 раза. Вычислим наименьший положительный период, причем равнялся T = π k 2 = 3 2 π . А область определения функции с координатами — 3 π 4 + 3 2 π · k ; 3 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z , меняется только область определения.

Симметрия идет по сторону О х . Период не изменится в этот момент.

Необходимо симметрично отображать оси координат. Область определения в данном случае неизменна. График совпадает с предыдущим. Это говорит о том, что функция тангенса нечетная. Если к нечетной функции задать симметричное отображение О х и О у , тогда преобразуем до исходной функции.

При движении вправо на π 2 видим, что наименьшим положительным периодом является T = 3 2 π . А изменения происходят внутри области определения — π 4 + 3 2 π · k ; 5 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z .

При сдвигании графика на π 3 получаем, что изменение области определения отсутствует.

Преобразование тангенса завершено.

Тригонометрическая функция вида y = a r c cos x

Рассмотрим на примере тригонометрической функции вида y = a r c cos x .

Пример 7

Построить график функции y = 2 a r c sin 1 3 ( x — 1 ) при помощи преобразования y = a r c cos x .

Решение

Для начала необходимо перейти от арккосинуса к арксинусу при помощи обратных тригонометрических функций a r c sin x + a r c o cos x = π 2 . Значит, получим, что a r c sin x = π 2 — a r c cos x .

Видно, что y = a r c cos x → y = — a r c cos x → y = — a r c cos x + π 2 .

Поэтапное преобразование арккосинуса и графическое изображение.

График, данный по условию

Производим отображение относительно О х

Производим движение вверх на π 2 .

Таким образом, осуществляется переход от арккосинуса к косинусу. Необходимо произвести геометрические преобразования арксинуса и его графика.

Видно, что k 1 = 2 , k 2 = 1 3 , a = — 1 , b = 0 , где отсутствует знак « — » у k 1 и k 2 .

Отсюда получаем, что преобразования y = a r c sin x примет вид:

y = a r c sin ( x ) → y = 2 a r c sin ( x ) → → y = 2 a r c sin 1 3 x → y = 2 a r c sin 1 3 ( x — 1 )

Поэтапное преобразование графика арксинуса и графическое изображение.

График y = a r c sin x имеет область определения вида x ∈ — 1 ; 1 , тогда интервал y ∈ — π 2 ; π 2 относится к области значений.

Необходимо растянуть вдвое по О у , причем область определения останется неизменной x ∈ — 1 ; 1 , а область значений y ∈ — π ; π .

Растягивание по О х строе. Происходит расширение области определения x ∈ — 3 ; 3 , но область значений остается неизменной y ∈ — π ; π .

Производим сдвигание вправо на 1 , причем область определения становится равной x ∈ — 2 ; 4 . Без изменений остается область значений y ∈ — π ; π .

Задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершена. Если по условию имеются сложные функции, тогда необходимо прибегнуть к полному исследованию функция.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта