ISopromat.ru

Закон Гука [в понятной форме]

Обычно при изучении закон Гука не вызывает особых сложностей. Запомнить, что деформация в упругом теле пропорциональна приложенной к нему силе, совсем не сложно.

Чаще всего, этого знания вполне достаточно для школьного курса, чтобы забыть про Гука навсегда :)… Чтобы он лучше запомнился, глянем на портрет.

Однако, если вы изучаете физику по углубленной программе или если ваш преподаватель хочет добиться демонстрации понимания этого закона на более высоком уровне, то сказанного явно недостаточно. Кроме того, при поступлении в технический институт, знаний этих тоже мало. Ведь на законе Гука держится великий и ужасный сопромат! Да и при изучении механики — это один из самых важных законов.

Давайте изложим основные постулаты Гука в простой и понятной читателю форме, ну а если вопросы останутся — пишем их в комментариях или в личку.

Введение и основные понятия

Наверняка вы в детстве играли с такой штукой, которая называется лук со стрелами. Принцип работы этого устройства очень прост. Есть согнутая палка, чаще всего из ивы, и есть тетива, которая связывает концы палки. Когда мы натягиваем тетиву стрелой, то сила упругости палки заставляет её возвращаться к прежнему состоянию и передавать энергию стреле.

Как вы догадываетесь, ключевое слово тут — сила упругости. Это такая сила, которая возникает в теле при попытке это тело согнуть или изменить его форму, то есть деформировать. Кстати, про силу полезно прочитать вот это. Обусловлена она внутренним взаимодействием частичек.

И тут тоже появилось новое слово — деформация. Думаю, пояснять что это такое, не нужно.

А вот сказать, что деформация бывает обратимая (упругая) и необратимая, важно. Ведь закон Гука работает в случаях существования упругой деформации.

Упругая деформация — это такая деформация, после которой тело возвращается к своим первоначальным геометрическим характеристикам, после снятия внешнего воздействия.

Простейшие виды деформации — это растяжение и сжатие. Сразу вспоминаем пружину. Ну и в учебнике физики вы как раз-таки встретите закон Гука, который раскрывается на примере пружины.

Формулировка закона Гука

Формулируется закон так:

Деформация, возникающая в упругом теле, пропорциональна приложенной к этому телу силе.

Если записывать его в виде формулы, то имеем следующее:

F = -kx ,

где F — сила упругости в теле, k — коэффициент упругости или жесткости, x — линейное изменение размеров тела.

Почему тут минус? Да его можно и не писать, если понимать логику. Вспоминаем, что сила есть вектор. Так как сила, возникающая в теле, противонаправлена силе приложенной, то формула записывается с минусом.

Иногда вместо k или x используют другие обозначения, но смысл от этого не меняется.

Разбираемся с новыми буквами

У нас появилась сила упругости в теле. Именно она в формуле — это F. Вспоминаем, что по третьему закону Ньютона (обязательно читаем), она равна силе или векторной сумме сил, воздействующей на тело. Мы считаем именно эту силу. Поэтому, если, скажем, предстоит решить задачу, где книга лежит на столе, а стол гнется, то мы считаем, что сила упругости в столе, равна нашему любимому m*g, так как книга притягивается к полу и вызывает изгиб стола.

k — это жесткость тела. Зависит она от материала и характеристик тела. Очевидно, что деревянная доска и железная труба будут иметь разные жесткости.

Стоит отметить, что это величина расчётная, но в начале изучения вы будете брать её из табличек и считать константой. А вот дальше нужно будет вспомнить/изучить, такую штуку, как модуль упругости первого рода или модуль Юнга. Это уже основы сопротивления материалов и начнется «О Боже, профессор нинада!»)

х — это линейное удлинение. Считается очень просто. Сколько стало минус сколько было :). В сложных случаях считается тоже посложнее, но нужны просто знания геометрии.

Новые важные понятия и обобщенный закон Гука

Про обобщенный закон Гука следует написать отдельную статью. Здесь же отмечу, что искушенный читатель наверняка заметил — пока речь идёт только об одноосном деформировании. Мы работаем с пружиной, которую можно растянуть вдоль оси икс или сжать вдоль оси икс. А что, если пружина будет растягиваться и сгибаться одновременно…

Реальные тела обычно деформируются во все стороны. В дело вступают сразу три направления.

В этом случае нужно использовать обобщенный закон Гука. Используются так называемые тензоры. Это большая тема, а тут отметим, что если вас вдруг спросили, а какие ограничения есть у стандартного закона Гука, то обязательно не забудьте сказать, что деформация должна происходить вдоль одной оси.

Ещё при разговоре об ограничениях выполнения закона стоит отметить про предел пропорциональности. Это максимальное механическое нагружение, до которого выполняется закон Гука. Смотрим на график. По оси Ыгрик у нас отложено механическое напряжение (читай как сила для упрощения), а по оси Ыкс — изменение размеров. Пока у нас есть линейная зависимость, отмеченная красной прямой линией, закон Гука будет выполняться.

Все тела ведут себя по разному и при достижении точки А одни тела развалятся/сломаются, а другие необратимо удлинятся/сожмутся. В конкретном примере тело расслюнявило, но оно не сломалось. Связь между силой и деформацией стала нелинейной.

Закон Гука выполняется только при малых деформациях и далеко не для всех материалов! Так, для многих полимеров закон Гука не будет выполняться. Выполняется он только, напомним, в линейных системах.

Как же описывать связь силы упругости и деформации в нелинейных системах, т.е. когда деформация не мала. Или что делать, когда закон Гука неприменим. Очень хорошо, что вы об этом задумались! Но это большая и сложная тема. Всё опять сводится к закону Гука в обобщенной форме и условно принимается, что деформация мала. Примерно так :)…

Но вообще, при больших деформациях следует использовать иные способа расчёта.

Техническая механика

Сопротивление материалов

Деформации при растяжении и сжатии

Продольные деформации при растяжении и сжатии

Характер деформаций, которым подвергается прямой брус при растяжении или сжатии мы определили, проведя опыт с резиновым брусом, на котором была нанесена сетка линий.

Теперь представим себе брус постоянного сечения имеющий длину l, один из концов которого защемлен, а к свободному концу приложена растягивающая сила F. Под действием этой силы брус удлинится на некоторую величину Δl, которую назовем абсолютным удлинением бруса.

Отношение абсолютного удлинения Δl к первоначальной длине бруса l назовем относительным удлинением и обозначим ε:

ε = Δl / l

Относительное удлинение — величина безразмерная, иногда его выражают в процентах.

Итак, деформация бруса при растяжении и сжатии характеризуется абсолютным и относительным удлинением или укорочением.

***

Закон Гука при растяжении и сжатии

Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой линейной зависимостью, которая называется законом Гука, по имени английского физика Р. Гука (1653-1703 г.г.), установившего этот закон.

Сформулировать закон Гука можно так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.

Математически эта зависимость записывается так:

σ = E ε.

Здесь Е — коэффициент пропорциональности, который характеризует жесткость материала бруса, т. е. его способность сопротивляться деформации; его называют модулем продольной упругости, или модулем упругости первого рода.

Модуль упругости, как и напряжение, выражаются в паскалях (Па).

Значения Е для различных материалов устанавливаются экспериментально-опытным путем, и их величину можно найти в соответствующих справочниках.

Так, для стали Е = (1,96.…2,16) х 105 МПа, для меди Е = (1,00…1,30) х 105 МПа и т. д.

Следует оговориться, что закон Гука справедлив лишь в определенных пределах нагружения.

Если в формулу закона Гука подставить полученные ранее значения относительного удлинения и напряжения: ε = Δl / l , σ = N / А, то можно получить следующую зависимость:

Δl = Nl / (EА).

Произведение модуля упругости на площадь сечения Е×А, стоящее в знаменателе, называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно и физико-механические свойства материала бруса и геометрические размеры поперечного сечения этого бруса.

Приведенную выше формулу можно читать так: абсолютное удлинение или укорочение бруса прямо пропорционально продольной силе и длине бруса, и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.

Выражение ЕА / l называют жесткостью бруса при растяжении и сжатии.

Приведенные выше формулы закона Гука справедливы лишь для брусьев и их участков, имеющих постоянное поперечное сечение, изготовленных из одного материала и при постоянной силе. Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса определяется, как алгебраическая сумма удлинений или укорочений отдельных участков:

Δl = Σ (Δli)

***

Поперечные деформации при растяжении и сжатии

Описанный ранее опыт с резиновым брусом, на котором нанесена сетка линий, показал, что при растяжении поперечные размеры бруса уменьшаются, а при сжатии — увеличиваются, т. е. брус становится либо тоньше, либо толще. Это явление характерно для брусьев, изготовленных из всех материалов.

Опытным путем установлено, что при одноосном растяжении или сжатии отношение относительных поперечной и продольной деформаций для данного материала — величина постоянная.

Впервые на эту зависимость указал французский ученый С. Пуассон (1781-1840 г.г.) и математически она записывается так:

|ε1| = ν |ε|,

где ν — коэффициент поперечной деформации, называемый коэффициентом Пуассона.

Коэффициент Пуассона является безразмерной величиной, и характеризует упругие свойства материала. При растяжении и сжатии этот коэффициент принимается одинаковым.

Значения коэффициента Пуассона для разных материалов установлены опытным путем и их величины можно найти в соответствующих справочниках.

***

Потенциальная энергия деформации при растяжении

При статическом (медленном) растяжении образца растягивающая сила F возрастает от нуля до какого-то значения, удлиняет образец на величину Δl и при этом совершает работу W.

Эта работа аккумулируется в деформируемом образце в виде потенциальной энергии деформации U, причем, пренебрегая незначительными потерями энергии (например, тепловыми), можно считать, что W = U.

Путем изучения диаграмм растяжения образцов, установлено, что потенциальная энергия упругой деформации стержня длиной l постоянного поперечного сечения А при одинаковой во всех сечениях продольной силе N = F будет равна:

U = W = F Δl / 2 = N2 l / (2E А)

Сопротивление материалов оперирует, также, таким понятием, как удельная потенциальная энергия деформации, которая подсчитывается, как потенциальная энергия, приходящаяся на единицу объема бруса.

При одновременном действии растягивающих и сжимающих нагрузок или ступенчатом изменении размеров поперечного сечения бруса, его разбивают на однородные участки и для каждого подсчитывают потенциальную энергию деформации. Потенциальную энергию деформации всего бруса определяют, как сумму потенциальных энергий отдельных участков.

Анализируя формулу потенциальной энергии деформации можно сделать вывод, что эта величина всегда положительная, поскольку в ее выражения входят квадраты линейных и силовых величин. По этой причине при вычислении потенциальной энергии деформации нельзя применять принцип независимости действия сил (поскольку квадрат суммы не равен сумме квадратов слагаемых).

Единицей измерения потенциальной энергии деформации, как и работы, является джоуль (Дж).

***

Материалы раздела «Растяжение и сжатие»:

• Основные понятия о деформации растяжения и сжатия.
• Расчеты на прочность при растяжении и сжатии. Статически неопределимые задачи.

Смятие

Правильные ответы на вопросы Теста № 5

Техническая механика

Сопротивление материалов

Закон Гука для продольных нагрузок

Более 350 лет назад 25-летний английский физик Роберт Гук (в англоязычной транскрипции — Хук) сформулировал зависимость между относительным линейным удлинением тела и величиной растягивающей тело силы.

В оригинале формулировка закона, предложенная Гуком, звучит примерно так:

«Какова сила, таково и удлинение».

В современной трактовке эта зависимость в общем виде формулируется следующим образом:

«Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации».

Казалось бы, очевидный вывод, который напрашивается естественным образом — чем больше сила, приложенная к брусу, тем в большей степени он деформируется. Тем не менее, заслуга Гука заключается в том, что именно он обратил внимание, на линейную (прямо пропорциональную) зависимость между нагрузкой и относительной деформацией.

Открытия многих, казалось бы — очевидных, закономерностей совершают гении. Ведь в течении предшествующих Ньютону человеческих поколений считалось, что чем легче тело, тем дольше оно падает на земную поверхность с высоты. И лишь гений смог опровергнуть это заблуждение миллионов людей. По сути, только великий Эйнштейн сделал неочевидное открытие, которому, впрочем, предшествовали научные исследования и гипотезы многих талантов.

Долгое время закон Гука являлся единственным инструментом новоявленной науки сопротивление материалов, и лежал в основе всех расчетов конструкций на прочность и жесткость. Лишь спустя много лет учеными были установлены более сложные (непропорциональные) зависимости между напряжениями и приложенными к элементам конструкции силовыми факторами, которые, впрочем, тоже основываются на законе Гука.

Большую роль в развитии науки сопротивление материалов сыграли такие видные ученые, как Герц, Журавский, Эйлер, Ясинский и другие, установившие зависимости между напряжениями и сложными видами нагружений. Большинство этих зависимостей и выводов основываются на экспериментально-опытных исследованиях, т. е. получены не только с помощью математического анализа (эмпирические зависимости).

Роберт Гук (1635-1703) считается одним из талантливейших ученых своего времени. Обладавший кипучей творческой энергией, он совершил много интересных открытий в самых разных науках — фундаментальной физике, термодинамике, акустике, оптике, биологии. Достаточно сказать, что Гуку многие ученые отдают пальму первенства в открытии закона всемирного тяготения, считая, что он раньше Ньютона пришел к его осознанию.

Роберт Гук отличался способностью браться за изучение многих явлений в природе, и, зачастую, не закончив исследование одного явления, на полпути к открытию брался за совершенно другой научный труд, а результатами его незавершенных выводов пользовались последователи, увековечивая свое имя в науке.

Тем не менее, этот человек останется в памяти потомков, как автор знаменитого закона Гука.

Математически закон Гука для деформаций растяжения и сжатия можно записать так:

σ = Еε,

где:

σ — напряжение в сечении бруса,

ε — относительное удлинение бруса, которое определяется по формуле ε = Δl/l (здесь Δl — абсолютное удлинение бруса, l — начальная длина бруса),

Е — коэффициент пропорциональности, который называют модулем продольной упругости (или модулем упругости первого рода, или модулем Юнга).

Коэффициент Е является справочной (определяемой экспериментально) величиной, характеризующей способность материала противостоять деформации и измеряется в Паскалях (1 Па = Н/м2).

Поскольку 1 Паскаль — очень маленькая величина (муха весом 14 мг, севшая на столик площадью 1 м2 окажет на него давление, примерно равное 0,00014 Па), поэтому чаще применяют ее производную — 1 МПа (миллион Паскалей, или 1 МПа = 1 000 000 Па).

Математическое выражение закона Гука можно представить в расширенном виде, подставив вместо σ (напряжения) его зависимость от силы и площади сечения: σ = F/A, и вместо ε (удельное удлинение) выражение Δl/l. Тогда получим:

F/A = Е(Δl/l), откуда можно выразить абсолютное удлинение (укорочение) бруса в результате приложения внешней силы F:

Δl = Fl/(EA).

Это выражение можно сформулировать следующим образом: абсолютное удлинение (укорочение) бруса прямо пропорционально приложенной внешней нагрузке и длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения бруса.

Выражение ЕА, стоящее в знаменателе дроби, часто называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии.

Приведенные формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из однородного материала и при постоянной продольной силе. Если брус имеет ступенчатую форму, или состоит из участков, изготовленных из разных материалов, и нагружен на разных участках несколькими продольными силами, то абсолютное изменение длины всего бруса определяют, как сумму абсолютных удлинений его отдельных участков:

Δl = Σ (Δli)

В заключение следует отметить, что закон Гука справедлив в ограниченном диапазоне внешних нагрузок и не применим, когда некоторые напряжения (или деформации) достигают предельных значений, характерных для каждого материала. При превышении предельных значений напряжений линейная зависимость между нагрузками и деформациями не наблюдается.

***

Материалы раздела «Сопротивление материалов»:

• Основные понятия и определения
• Растяжение и сжатие
• Смятие. Контактные напряжения
• Деформация сдвига (среза)
• Деформация кручения
• Деформация изгиба

Метод сечений. Напряжения

Правильные ответы на вопросы Теста № 3