Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление. Хотя данный метод предпочтительнее метода начальных параметров, он неудобен из-за необходимости вычисления интеграла. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр.
Получение формулы интеграла Мора
Рассмотрим балку, изображенную на рис. 15.6, а. Обозначим и , соответственно, изгибающий момент и поперечную силу, возникающие в заданной балке от действующей на нее группы нагрузок P. Пусть требуется определить прогиб балки () в точке K.
Введем в рассмотрение вспомогательную балку (та же балка, но нагруженная только единичной силой либо единичным изгибающим моментом). Нагрузим ее только одной силой (рис. 15.6, б). Единичную силу приложим в точке K, где нужно определить прогиб.
Внутренние усилия, возникающие во вспомогательной балке, обозначим и .
Воспользуемся теперь теоремой о взаимности работ, согласно которой работа внешних сил, приложенных к вспомогательной балке на соответствующих перемещениях заданной балки равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил заданной балки на соответствующих перемещениях вспомогательной балки. Тогда .
При определении перемещений в балке, как правило, можно пренебрегать влиянием поперечной силы, ( не учитывать второе слагаемое).
Тогда, учитывая, что , окончательно получим формулу интеграла Мора: .
Определение перемещений по формуле интеграла Мора часто называют определением перемещений методом Мора, а саму формулу — интегралом Мора.
Входящие в интеграл Мора изгибающие моменты берутся в произвольном поперечном сечении и поэтому представляют собой аналитические функции от текущей координаты z.
Заметим, что если мы хотим в этой же точке K определить угол поворота поперечного сечения (), то нам необходимо к вспомогательной балке приложить не единичную силу, а единичный момент (рис. 15.6, в).
порядок вычисления перемещений методом Мора:
· к вспомогательной балке в той точке, где требуется определить перемещение, прикладываем единичное усилие. При определении прогиба прикладываем единичную силу , а при определении угла поворота — единичный момент ;
· для каждого участка балки составляем выражения для изгибающих моментов заданной () и вспомогательной () балок;
· вычисляем интеграл Мора для всей балки по соответствующим участкам;
· если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного усилия. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичного усилия.
Вычисление интеграла Мора пример
Пусть для шарнирно опертой балки постоянной изгибной жесткости , длиной l, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 15.7, а), требуется определить прогиб посредине пролета () и угол поворота на левой опоре ().
определение прогиба с помощью интеграла Мора
В том месте, где нам нужно определить прогиб, к вспомогательной балке прикладываем единичную силу (рис. 15.7, б).
Записываем выражения для изгибающих моментов для каждого из двух участков () заданной и вспомогательной балок:
.
.
Вычисляем интеграл Мора. Учитывая симметрию балки, получим:
.
Определение угла поворота методом Мора
Нагружаем вспомогательную балку единичным моментом , прикладывая его в том месте, где мы ищем угол поворота (рис. 15.7, в).
Записываем выражения для изгибающих моментов в заданной и вспомогательной балках только для одного участка ():
;
.
Тогда интеграл Мора будет иметь вид:
.
Положительный знак в выражении для угла поворота поперечного сечения балки указывает на то, что поворот сечения происходит по направлению единичного момента .
(.
13.17)
1.
13. —
, .. .
().
. . , .
( : ; ; ) , . , , . , . . , , — .
, , , , . , , , , . () , ; :
.
(.13.1, ), A AB. . A AB , . A AB (.13.1, ).
) )
. 13.1
, , :
z. N, Q, M (.13.1, ). () A , ..
(2) , , , , z, A AB (. 13.2).
) )
. 13.2
,
:
, ,
. .
, . (.. 13.2, ), , (. 13.2, ). :
:
:
,
(3).
, (, — — ), (3) , .
, , , , , .
, , . , .
, (Mx 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0). (3) :
(5) , :
1. Mx .
2. , , ( — ; — ). .13.2.1 : ; ; ; .
.13.2.1
3. .
3. .
, , , , ( ) , .
, , dz ds.
1.
(. 13.3) .
) ) )
. 13.3
.
(3) :
.13.3,,. (. 13.3,). (6) :
A (. 7.9,). ,
2.
, ( ) , .13.3.1,, EA=2500 .
.13.3.1
.
1. :
() , . () :
2. (.13.3.1,) :
3. . :
3.
A (. 13.4).
. 13.4
.
:
. 13.4 . 1 (. 13.5, ). (7), :
) )
. 13.5
, , .
A. A (. 13.5,) (7), :
, .
. , .
4.
A (. 13.6, ) R.
) )
. 13.6
) )
. 13.7
.
(7), N Q . , (. 13.6, ),
(. 13.7). (7), :
, R. , , .
5.
, (.13.8, ), .
. 13.8
.
: () q; (.13.8, ). () , ; (.13.8, ). ( ) , ; (.13.8, ). ; z :
:
«+» , .
:
«+» , .
6.
(.13.9, ) . .
. 13.9
.
. () F (.13.9, ); (.13.9, ) (.13.9, ).
() (.13.9, ); (.13.9, ) (.13.9, ).
(3) :
z (.13.9) :
. b h, h=0,1l.
:
, ; G=0,4E :
, , 3% , . , h/L .
7.
ʻ (. 13.9.1,).
.13.9.1
.
= 1 ʻ , ʻ (. 156 ).
2.
3.
3. :
, , . , , . — , . , .
, , . , . , . , , , .
( ) , 1924 : , , ( , ) , .
.
:
, , (. 13.10)
(k,l — ).
,
— , — .
J , :
. 13.10
. 13.10 , , — f.
:
(8) : f .
, , .. . , , . . 13.11.
) ) ) )
. 13.11
(. 13.12): ) , ; ) , , : ;
) , ().
) ) )
. 13.12
, , . , .
XVIII , , . , , . , . . , , . , .
, , , , . . . , , , , — .
, , .13.12.1.
.13.12.1
, , :
.13.12.2 () () .
.13.12.2
, , . , c b , .
:
:
, :
— :
, , , , , , :
(12), :
— 13.1. , , . , . 13.1, , , 0. , a = b .
, , 13.1.
13.1
8.
A (. 13.13, ) (3) .
) )
. 13.13
.
(. 13.13, ). . :
: , . .
9.
, (.13.14, ), .
. 13.14
.
, , : q; Mq (.13.14, ), — ( , .13.14, ), , ( , .13.14, ).
:
(. 5). , , , , . (L/4 .13.14, ), . .
(1/2, .13.14, ), :
, (. 5).
10.
, (. 13.15,), :
1. ().
2. 3 ().
3. 3 ().
.13.15
.
, :
1 . (. 13.15,); 3 (. 13.15,); 3 (. 13.15,) ;
(. 13.15,);
EJ . EJ =1.
, .
:
— , , . .
— , :
: (. 13.15,), ( ).
.
1 (. 13.15,,).
: , .
.
(. 13.15,) 1 (. 13.15,).
, 3 ( , ) 7 .
.
, . 13.15, . 13.15,. :
11.
(. 13.16, ), .. , .
) )
. 13.16
.
. 13.16, ,
12.
.13.17
.
. (. 13.18).
:
.13.18
2. (. 13.19).
.13.19
3. :
)
)
13.
(. 13.20) :
1) 2 ();
2) 4 ();
3) 1 2.
.13.20
.
(. 13.20,).
1. 2.
.
( ) ( )
2 504 .
2. 4.
= 1 4 (. 13.20,) 1. 1 ( . 13.20,).
3. 1 2.
1 2 , 12 (. 13.20,). 1 (. 13.20,).
1 :
14.
(. 13.21,), = 1 . .
.13.21
.
p 13.21,.
= 1, 1 ( ) = 1 () . 13.22,, 1 (.13.22,). , , , , :
, .
, — .
.13.22
15.
(. 13.23,) . 3 —
.13.23
.
(. 13.23,,) . 13.2.
13.2
1-2 | 2-3 | 3-4 | 5-3 | 5-2 | 2-6 | 6-1 | 1-7 | 7-6 | 6-5 | 5-4 |
3.0 | 3.0 | 5.0 | 4.0 | 5.0 | 4.0 | 5.0 | 4.0 | 3.0 | 3.0 | 3.0 |
-16.5 | -6.0 | -10.0 | 8.0 | -17.5 | 14.0 | -23.75 | 30.75 | 16.5 | 6.0 | |
1 | -0.75 | 1.0 | -1.25 | 1 | -1.25 | 1.5 | 0.75 |
Np N1 , .
16.
(. 13.24, ).
) )
. 13.24
.
(3):
. . 13.24 .
:
( ) , ( ), ( ) ( ) , . . i- j (Rj(1)) i- j- ( ).
17.
(.13.25,). 4 . 2.
.13.25
.
:
2 =1 (.13.25,) :
, :
, .
, . , .
dx (. 13.26).
.13.26
. (), .
— .
, .
.
:
) . . — .
) N. () — .
18.
(. 13.27,) . 3 .
.13.27
.
3 (. 13.27,). (. 13.27,,). :
— : , ;
— : , .
:
— ?
— ?
— ?
— ?
— ?
— ?
— () ?
— ?
— ?
— , ?
— ?
— ?
— q ?
— ?
— , ?
— , ?
— — . — , , .
— -: , ( ), ( ).
— ?
— , .
— ?
— ?
— ? ?
— ?
— , ?
— ?
— ?
— ?
— ?
— .
— .
— ?
— ?
— ?
— ?
— , , ?
— ?
— .
— ? ?
— — , ( , ..), , ( ), ?
— ?
— ? ?
— ? ? .
— (, , ) ?
— ? ?
— , . , ().
— , ? ?
— ( )?
— — ( ) , , 1600 2.
— — ( ) , EI=2000 2.
— ABC q. a l, E J, -.
— ?
— , P, E. .
: KarimovI@rambler.ru
: , 450071, ., 21
Интеграл мора при растяжении
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Интеграл Мора
Для решения вопросов жесткости элементов требуется определять перемещения (линейные, угловые). Существуют несколько способов определения перемещений, одним из которых является определение перемещений по интегралу Мора.
Алгоритм вычисления перемещений по интегралу (формуле) Мора:
1. Составляем выражение изгибающего момента MF от действующей нагрузки.
2. Снимаем с балки (рамы, фермы и т.д.) все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения. Составляем выражение изгибающего момента
от единичного фактора.
3. Подставляем выражения моментов в интеграл Мора:
где: Δ — перемещение в общем виде, знак Σ распространяется на все участки балки; EI — изгибная жесткость на участке.
Источник
Метод мора
Содержание:
Метод Максвелла — Мора представляет собой универсальный способ для определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах.
- Напомним основные этапы использования метода Максвелла -Мора.
При отыскании линейного перемещения к системе, освобожденной от заданных нагрузок, в направлении искомого перемещения (в заданной точке) прикладывается безразмерная единичная сила. Аналогично, при определении углового перемещения в сечении, поворот которого требуется найти, прикладывается пара сил (в плоскости искомого поворота) с моментом, равным безразмерной единице.
Строятся эпюры внутренних силовых факторов от заданной нагрузки и единичных воздействий.
Искомое перемещение определяется из выражения:
правую часть, которого называют интегралами Мора, где:
искомое перемещение (линейное или угловое). Первый индекс указывает номер искомого перемещения второй индекс указывает причины, вызывающие деформации отдельных элементов системы и как следствие , перемещение (индекс указывает, что перемещение определяется от заданной нагрузки);
аналитические выражения продольной, поперечной сил и изгибающего момента соответственно от единичного и заданного воздействия (единичные и грузовые эпюры внутренних усилий);
жесткости поперечных сечений стержня соответственно на растяжение, сдвиг, изгиб;
коэффициент отражает неравномерность распределения касательных напряжений по поперечному сечению. Этот коэффициент зависит от формы сечения, например, для прямоугольника для круга
Направление единичного воздействия выбирается произвольно. Полученный по формуле (2.1) положительный результат указывает на то, что направление искомого перемещения совпадает с принятым направлением единичного воздействия, либо противоположно принятому направлению, если получен отрицательный результат.
В формуле (2.1) каждый интеграл четко выражает вклад соответствующей деформации в искомое перемещение. Обычно учитываются лишь основные виды деформации. В конструкциях работающих на изгиб учитывается влияние изгибающих моментов, а поперечными силами пренебрегают.
В комбинированных системах, где часть стержней работает на растяжение-сжатие, а часть — на изгиб, учитываются обе эти деформации. В фермах, где каждый стержень работает на растяжение -сжатие в формуле (2.1) остается только первый интеграл.
В случаях, когда ось бруса прямолинейна и жесткость поперечного сечения в пределах отдельных участков постоянна, интегралы
Мора, входящие в выражение (2.1) целесообразно вычислять, используя правило Верещагина или формулу Симпсона.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Пример решения задачи 2.2.
Определить прогиб конца консольной балки (рис. 2.2,а), учитывая лишь деформации, изгиба, жесткость поперечного сечения балки постоянна.
Решение:
Эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки показана на рис.
Построим единичную эпюру, для этой цели, сняв с балки заданную нагрузку, приложим к концу консоли (точка
рис. 2.2 в),
вертикально направленную единичную силу
, направление
единичной силы выбирается произвольно , например направим ее вниз, т.е. предполагаем , что точка
переместится вниз по отношению продольной оси балки .
При заданном загружении (рис. 2.2,в), балка имеет один участок
Единичный изгибающий момент для произвольного сечения участка будет равен
Подставляя в полученное уравнение прямой координаты начала и конца участка, построим единичную эпюру изгибающих моментов (рис. 2.2, г ).
Для определения прогиба точки
надо «перемножить» эпюры от заданной нагрузки и от единичной силы. Проделаем это. Балка имеет два участка, На участке интеграл Мора вычислим по способу Верещагина.
Перемещение положительно, так как обе сопрягаемые эпюры, лежат по одну сторону от базы ( продольной оси бруса ).
На участке
грузовая эпюра нелинейная и заранее неизвестно, где находится ее центр тяжести, использовать правило Верещагина на этом участке затруднительно. Для вычисления интеграла Мора на участке воспользуемся формулой Симпсона. Применяя ее, найдем:
Прогиб сечения
равняется сумме интегралов Мора на участках
Знак плюс прогиба
указывает на то, что сечение переместится по направлению единичной силы, т.е. вниз.
Пример решения задачи 2.3.
Определить угол поворота сечения
двухопорной балки с консолью (рис. 2.3,а), учитывая лишь деформации изгиба, жесткость, балки постоянна.
Решение:
Эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки построена ранее в примере, ее вид показан (рис. 2.3, б).
Построим единичную эпюру, для этой цели, сняв с балки заданую нагрузку, приложим в сечении
единичный момент направление единичного момента выбираем произвольно, например по ходу часовой стрелки (рис. 2.3,в).
Балка имеет три участка. Сопряжение эпюр проведем по участкам. На первом участке (участок
для вычисления угла поворота, используем формулу Симпсона, так как эпюра на участке интегрирования нелинейная:
На втором участке (участок
обе эпюры изгибающих моментов линейны.
Поэтому интеграл Мора на этом участке можно вычислить по формуле трапеций. Применяя ее, найдем:
Полученные выражения отрицательны потому, что знаки ординат «перемножаемых» эпюр
противоположны. На третьем участке (участок интеграл Мора вычислим способом Верещагина:
Получен отрицательный результат потому, что эпюры
и лежат по разные сторону от базы ( продольной оси бруса ). Угол поворота сечения равняется сумме интегралов Мора на трех участках ( на участках
Полученный знак минус указывает на то, что сечение
поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента.
Пример решения задачи 3.1.
Для консольной рамы, рис. 3.1,а, определить вертикальное и горизонтальное перемещение точки
а также угол поворота узла жесткости стержней
Решение:
Поскольку при определении перемещений в рамах используется интеграл Мора, содержащий изгибающие моменты, построение эпюр
не обязательно.
Построим грузовую эпюру изгибающих моментов, её вид показан на рис. 3.1,6.
Для определения вертикального и горизонтального перемещение точки
в это сечение приложим единичные силы и
построим единичные эпюры, их вид показан на рисунках
«Перемножим» грузовую и единичные эпюры в пределах длины каждого участка (стержня).
Вертикальное перемещение точки
Горизонтальное перемещение точки
Анализируя, полученные выражения, устанавливаем, что точка
перемещается вверх и влево.
Для определения угла поворота узла
в этот узел приложим единичный момент и построим единичную эпюру изгибающих моментов, см. рис. 3.1,д.
«Перемножая» грузовую и единичную эпюры, определим угол поворота узла
Сечение поворачивается против хода часовой стрелки.
Пример решения задачи 3.2.
Для шарнирно опертой рамы со стержнями различной жесткости, рис. 3.2,а, определить горизонтальное перемещение точки
и угол поворота сечения
Решение:
Определим опорные реакции от действия заданных нагрузок.
Строим грузовую эпюру изгибающих моментов (рис. 3.2,6).
Приложим в точке горизонтальную единичную силу а в сечение единичный момент и построим
единичные эпюры изгибающих моментов, см. рис. 3.2,в,г. «Перемножив» эти эпюры с грузовой эпюрой
получим:
Точка
перемещается вправо, а сечение поворачивается по ходу часовой стрелки.
На странице -> решение задач по сопротивлению материалов (сопромат) собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам сопротивления материалов.
Присылайте задания в любое время дня и ночи в whatsapp.
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназачен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Источник
- Frédault, «Histoire de la médecine» (П., 1970).
- Debjit B., Rishab B., Darsh G., Parshuram R., Sampath K. P. K. Gastroretentive drug delivery systems- a novel approaches of control drug delivery systems. Research Journal of Science and Technology;10(2): 145–156. DOI: 10.5958/2349-2988.2018.00022.0.
- Мирский, «Медицина России X—XX веков» (Москва, РОССПЭН, 2005, 632 с.).
- https://sopromato.ru/obshchie-teoremi/integral-mora.
- https://www.soprotmat.ru/morver.htm.
- https://sochi-nt.ru/integral-mora-pri-rastyazhenii/.
- Мустафин Р. И., Буховец А. В., Протасова А. А., Шайхрамова Р. Н., Ситенков А. Ю., Семина И. И. Сравнительное исследование поликомплексных систем для гастроретентивной доставки метформина. Разработка и регистрация лекарственных средств. 2015; 1(10): 48–50.
- Daremberg, «Histoire des sciences médicales» (П., 1966).
- Renouard, «Histoire de la medicine» (П., 1948).
- Wise, «Review of the History of Medicine» (Л., 1967).
