Общие принципы преобразования графиков функций изучались нами в главе 8, (см. §47, §48, §50 справочника для 8 класса). В этом параграфе мы рассмотрим особенности тригонометрических функций при использовании этих преобразований.
п.1. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OX
Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OX:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(px), pgt 1 $$ график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(frac{x}{p}), pgt 1 $$ график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Тригонометрические функции являются периодическими: синус и косинус с периодом 2π, тангенс и котангенс — с периодом π. Получаем следствие общих принципов:
При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x), y_2=f(px), pgt 1 $$ период второй функции уменьшается в p раз: $$ T_2=frac{T_1}{p} $$
При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x), y_2=f(frac{x}{p}), pgt 1 $$ период второй функции увеличивается в p раз: $$ T_2=pT_1 $$
Например:
Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sin2x, h(x)=sinfrac{x}{2} $$
Период колебаний функции (g(x)=sin2x) в 2 раза меньше: (T_g=frac{2pi}{2}=pi).
Период колебаний функции (h(x)=sinfrac{x}{2}) в 2 раза больше: (T_h=2cdot 2pi=4pi).
п.2. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OY
Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OY:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=Af(x), Agt 1 $$ график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Общий принцип сжатия графиков:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=frac{1}{A}f(x), Agt 1 $$ график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Т.к. для графиков синуса и косинуса (синусоиды) характерна амплитуда колебаний, то также говорят, что:
- умножение на параметр (Agt 1) увеличивает амплитуду колебаний в (A) раз;
- деление на параметр (Agt 1) уменьшает амплитуду колебаний в (A) раз.
Например:
1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=cosx, g(x)=2cosx, h(x)=frac{1}{2}cosx $$
Умножение на (A=2) увеличивает амплитуду колебаний в 2 раза.
Область значений функции (g(x)=2cosx: yin[-2;2]). График растягивается по оси OY.
Деление на (A=2) уменьшает амплитуду колебаний в 2 раза. Область значений функции (h(x)=frac12 cosx: yinleft[-frac12; frac12right]). График сжимается по оси OY.
2) Теперь построим $$ f(x)=tgx, g(x)=2tgx, h(x)=frac{1}{2}tgx $$
В этом случае хорошей иллюстрацией растяжения по оси OY при умножении и сжатия по оси OY при делении на (A=2) служит поведение функции при (x=fracpi4). $$ fleft(fracpi4right)=tgleft(fracpi4right)=1, gleft(fracpi4right)=2tgleft(fracpi4right)=2, hleft(fracpi4right)=frac12 tgleft(fracpi4right)=frac12 $$ Аналогично — для любого другого значения аргумента x.
п.3. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OX
Общие принципы переноса по оси OX:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x+a), agt 0 $$ график второй функции смещается влево на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x-a), agt 0 $$ график второй функции смещается вправо на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
При этом параметр x называют начальной фазой колебаний.
При сравнении двух тригонометрических функций (y_1=f(x)) и (y_2=f(xpm a)) говорят, что у второй функции сдвиг по фазе равен (pm a).
Например:
1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sinleft(x+fracpi4right), h(x)=sinleft(x-fracpi4right) $$
Функция (g(x)=sinleft(x+fracpi4right)) сдвинута на (fracpi4) влево по сравнению с (f(x))
Функция (h(x)=sinleft(x-fracpi4right)) сдвинута на (fracpi4) вправо по сравнению с (f(x))
п.4. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OY
Общие принципы переноса по оси OY:
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x)+a, agt 0 $$ график второй функции смещается вверх на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x), y_2=f(x)-a, agt 0 $$ график второй функции смещается вниз на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Например:
1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx, g(x)=sinx+1, h(x)=sinx-1 $$
Функция (g(x)=sinx+1) сдвинута на 1 вверх по сравнению c (f(x))
Функция (h(x)=sinx-1) сдвинута на 1 вниз по сравнению с (f(x))
п.5. Общее уравнение синусоиды
Синусоида — плоская кривая, которая задается в прямоугольной системе координат уравнением: $$ y(x)=Asin(cx+d)+B $$ где
A — амплитуда, характеризует растяжение графика по оси OY
B — вертикальный сдвиг, характеризует сдвиг графика по оси OY (вверх/вниз)
c — циклическая частота, характеризует период колебаний и растяжение графика по оси OX
d- начальная фаза, характеризует сдвиг графика по оси OX(влево/вправо)
График (y(x)=Acos(cx+d)+B) также называют синусоидой. Термин «косинусоида» употребляется относительно редко.
Поскольку график косинуса получается из графика синуса сдвигом по фазе на π/2 влево, вводить термин «косинусоида» излишне.
Например:
Построим график (g(x)=3sinleft(2x+fracpi2right)-1)
По сравнению с (f(x)=sinx):
- (A=3) — график растянут по оси OY в 3 раза
- (c=2) — период меньше в 2 раза T=π, график сжат в 2 раза по оси OX
- (d=fracpi2) — начальная фаза положительная, график сдвинут на (frac{pi}{2cdot 2}=fracpi4) влево
- (B=-1) — график сдвинут по оси OY на 1 вниз
п.6. Общее уравнение тангенцоиды
Tангенцоидa — плоская кривая, которая задается в прямоугольной системе координат уравнением: $$ y(x)=Atg(cx+d)+B $$ где
A — амплитуда, характеризует растяжение графика по оси OY
B — вертикальный сдвиг, характеризует сдвиг графика по оси OY (вверх/вниз)
c — циклическая частота, характеризует период колебаний и растяжение графика по оси OX
d- начальная фаза, характеризует сдвиг графика по оси OX(влево/вправо)
График (y(x)=Actg(cx+d)+B) также называют тангенцоидой.
Например:
Построим график (g(x)=frac12 tgleft(frac{x}{2}-fracpi3right)+1)
По сравнению с (f(x)=tgx):
- (A=frac12) — график сжат по оси OY в 2 раза
- (c=frac12) — период больше в 2 раза T=2π, расстояние между асимптотами 2π, график растянут в 2 раза по оси OX
- (d=-fracpi3) — начальная фаза отрицательная, график сдвинут на (frac{pi}{3cdot 1/2}=frac{2pi}{4}) вправо
- (B=1) — график сдвинут по оси OY на 1 вверх
п.7. Примеры
Пример 1.Постройте в одной системе координат графики: $$ f(x)=sinx, g(x)=-sinx, h(x)=cosx $$ Найдите сдвиг по фазе для (g(x)) и (h(x)) в сравнении с (f(x)).
Сдвиг по фазе удобно определять по главной арке синусоиды.
Для (f(x)=sinx) главная арка определена на отрезке (0leq xleq pi)
Для (g(x)=-sinx) главная арка определена на отрезке (-pileq xleq 0), т.е. сдвинута на π влево от (f(x)). Это означает, что: $$ f(x)=g(x+pi), sinx=-sin(x+pi) $$ Для (h(x)=cosx) главная арка определена на отрезке (-fracpi2leq xleq fracpi2), т.е. сдвинута на (fracpi2) влево от (f(x)). Это означает, что: $$ f(x)=hleft(x+fracpi2right), sinx=cosleft(x+fracpi2right) $$
Пример 2. Найдите наименьшие положительные периоды функций:
a) (y=sin5x)
Период синуса (2pi) уменьшается в 5 раз. Получаем: (T=frac{2pi}{5})
б) (y=cospi x)
Период косинуса (2pi) уменьшается в (pi) раз. Получаем: (T=frac{2pi}{pi}=2)
в) (y=tgfrac{x}{4})
Период тангенса (pi) увеличивается в 4 раза. Получаем: (T=4pi)
г) (y=tgleft(2x+frac{pi}{3}right))
Период тангенса (pi) уменьшается в 2 раза. Получаем: (T=fracpi2)
Пример 3. Используя правила преобразования графиков функций, постройте график $$ f(x)=2ctgleft(3x+fracpi6right) $$ По сравнению с (g(x)=tgx):
- (A=2) — график растянут по оси OY в 2 раза
- (c=3) — период меньше в 3 раза (T=fracpi3), расстояние между асимптотами (fracpi3), график сжат в 3 раза по оси OX
- (d=-fracpi6) — начальная фаза положительная, график сдвинут на (frac{pi}{6cdot 3}=frac{pi}{18}) влево
Расположение нулей: $$ tgleft(3x+fracpi6right)=0Rightarrow 3x+fracpi6=pi kRightarrow 3x=-fracpi6+pi kRightarrow x =-frac{pi}{18}+frac{pi k}{3} $$ Вертикального сдвига нет, нули расположены на оси OX.
Расположение асимптот: $$ 3x+fracpi6nefracpi2+pi kRightarrow 3xnefracpi3+pi kRightarrow xnefracpi9+frac{pi k}{3} $$ Пересечение главной ветви с осью OY: (x=0, y=2tgfracpi6=frac{2}{sqrt{3}})
С учетом периода (fracpi3) получаем семейство дополнительных точек для построения графика (left(frac{pi k}{3}; frac{2}{sqrt{3}}right)).
Пример 4. Определите графически, сколько корней имеет уравнение на отрезке: a) (sinx=sin2x) при (0leq xleq 3pi)
Ответ: 7 корней
б) (cosfrac{x}{2}=cos2x) при (-2pileq xleq 2pi)
Ответ: 7 корней
?
: , *-* + : ? ! ? ! >>> mathprofi.com 15% () 5530-hihi5 : >>> , , | , . , . , . , , , . . ? — , , . , , ? , , . /, , . , , ! ? , , . ! , . , , ! , , , , , .. , , , . , , , . , : , . , , . , . , . , . . . : , . , , : . , , . , (); ; ; (); ; ; ; ; . : () () .. : , . : , , . , : 1 . , : , , .., , . , . . 2 : , . , : 2-3 : , , . — ! , . 2 3 : . : ( ). , , . , . : , , . : 3 : 2 : , . 2 : , . / , , : 4 . : . : () (). , . : , ? , , : . : , . ( ). : 5 : , . , . : . 2 : . : . . . , / . , , . /, ( ) . : : 1) , ; 2) , . 6 1 : , . , , ( ) 2 . : 7 ( ) 2 : , . , ( ) ( ). , ( ). : 8 ( ) : . ! , , , , , . ( ). . , : , , . ? , , , , // , . , : : 1) ( ) ( ) , ). 2) ( ) (!!!) , . 9 : ( ): 1) ); 2) (!!!) : ( ): , . , . : 10 . : . : 1) 2 : ; 2) : ; 3) (!!!) : : , , . , /. . , , . () .. 1) , . : , , . 2) , . : , , . , =) 11 . /: 2 : , (, ) , 2, : . 2 : , , : . , — , , ( 1,3) . . ! , , / : 12 . : . 2 : , 2 , ( ). : . , . : , . : , . 13 : : 14 : , . . , . , , : ( ) , . . /. Ƞ , ( ) . : : 1) , ; 2) , . 15 . , , : : 1) () . , . 2) . 16 ( ): 1) 1,5 : ( ); 2) 2 : : , : 17 : 1) : ; 2) 4 : : , , , , , . : 18 : 1) 2 : ; 2) : ; 3) 1 : : , 1 . (. 7). : , . : , (. ), ; , , . : 19 ( 10) 10 , . . : 4) : ; 5) 3 : : , , , : 5 3 . , . 5 , 1 . .. , ! , . , — , , , , , : 20 , . . . , , , . , , . . : , . : , . , : : : , : . : 1) : ( ); 2) 2 : ( ); 3) : ( ): : 21 . . : (1) 1 . , . (2) . . . (3) . , . (4) . . ( ): 1) 1 : ( ); 2) : ( ); 3) : ( ): , . pdf-, , . , . , . . . , , , , . , , . : : , . 22 : , : : , , . . , , . ? : , . : . : , , (. 13). 23 , : : , , . : .. (, ). , , . : : , , , . , 24- , =) 24 , : , , , , : : ! ! : , , , . , , , , : , : . : 25 : , , , : , : . , : , , . , . ? . : . : . , , . : 26 . =) , , : , ? , . : , : , . , , . =) — , , . , =) ! : >>> ( ) ? ! — |
Растяжение и сжатие графиков функций
Список функций, изученных в 7 и 8 классе
Функция | Формула | График | Раздел справочника |
Прямая пропорциональность | y = kx | Прямая | 7 кл., §37 |
Линейная функция | y = kx+b | Прямая | 7 кл., §38-39 |
Обратная пропорциональность | $ y = frac{k}{x} $ | Гипербола | 8 кл., §6 |
Квадрат числа | $ y=x^2$ | Парабола | 8 кл., §18 |
Квадратный трёхчлен | $ y = ax^2+bc+c$ | Парабола | 8 кл., §28-29 |
Квадратный корень | $ y = sqrt{x}$ | Парабола | 8 кл., §22 |
Растяжение и сжатие графика по оси OX
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), y_2 = f(px) $$
где $p gt 1$, произвольный положительный множитель.
Пусть p = 2.
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2 $ $y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX | |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = f(2x) = frac{4}{(2x)} = frac{2}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1 $ График сжимается в 2 раза по оси OX | |
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = f(2x) = sqrt{2x}$ $y_2=y_1 при x_2 = frac{1}{2} x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OX |
Теперь сравним пары функций с делением на p:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f left( frac{x}{p} right), quad p gt 1 $$
Пусть p = 2
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = f left(frac{x}{2}right) = left(frac{x}{2}right)^2 = frac{x^2}{4} $ $y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX | |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = f left(frac{x}{2}right) = frac{4}{x/2} = frac{8}{x}$ $ y_2 = y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX | |
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = f left(frac{x}{2}right) = sqrt{frac{x}{2}}$ $y_2=y_1 при x_2 = 2x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OX |
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f(px), quad p gt 1 $$
график второй функции сжимается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = f Biggl(frac{x}{p}Biggr), quad p gt 1 $$
график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Растяжение и сжатие графика по оси OY
Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x) $$
где $A gt 1$, произвольный положительный множитель.
Пусть A = 2.
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = 2f(x) = 2x^2 $ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY | |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = 2f(x) = frac{8}{x}$ $ y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY | |
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = 2f(x) = 2sqrt{x}$ $y_2 = 2y_1 при x_2 = x_1$ График растягивается в 2 раза по оси OY |
Теперь сравним пары функций с делением на A:
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$
Пусть A = 2
Парабола: $y_1 = f(x) = x^2$ $ y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{x^2}{2}$ $y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY | |
Гипербола: $ y_1 = f(x) = frac{4}{x}$ $y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{2}{x}$ $ y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY | |
Квадратный корень: $y_1 = f(x) = sqrt{x}$ $y_2 = frac{1}{2}f(x) = frac{sqrt{x}}{2}$ $y_2 = frac{1}{2}y_1 при x_2 = x_1$ График сжимается в 2 раза по оси OY |
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = Af(x), quad A gt 1 $$
график второй функции растягивается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
При сравнении графиков двух функций
$$ y_1 = f(x), quad y_2 = frac{1}{A} f(x), quad A gt 1 $$
график второй функции сжимается в A раз по оси OY по сравнению с графиком первой функции.
Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)
Примеры
Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:
$$ y = sqrt{x}, y = sqrt{3x}, y = sqrt{frac{x}{3}}, y = 3sqrt{x} $$
Сделайте выводы.
По сравнению с графиком $y = sqrt{x}$:
- график функции $y = sqrt{3x}$ сжимается в 3 раза по оси OX(←)
- график функции $y = sqrt{frac{x}{3}}$ растягивается в 3 раза по оси OX(→)
- график функции $y = 3sqrt{x}$ растягивается в 3 раза по оси OY(↑)
Пример 2*. Постройте в одной координатной плоскости графики функций:
$$ y = f(x), y = f(2x), y = f Biggl(frac{x}{2}Biggr), y = 2f(x) $$
где $f(x) = x^2+3x+2$
Сделайте выводы.
Исходная функция $y = f(x) = x^2+3x+2$
Остальные функции
$$ y = f(2x) = (2x)^2+3 cdot (2x)+2 = 4x^2+6x+2 $$
$$ y = fBiggl(frac{x}{2}Biggr) = Biggl(frac{x}{2}Biggr)^2+3 cdot Biggl(frac{x}{2}Biggr) +2 = frac{x^2}{4}+ frac{3}{2} x+2 $$
$$ y = 2f(x) = 2x^2+6x+4 $$
Получаем:
По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2+3x+2$:
- график функции y = f(2x) сжимается в 2 раза по оси OX(→)
- график функции $y = f left(frac{x}{2}right)$ растягивается в 2 раза по оси OX(←)
- график функции y = 2f(x) растягивается в 2 раза по оси OY(↑)
Рейтинг пользователей
Преобразование графиков элементарных функций
Основные элементарные функции в чистом виде без преобразования встречаются редко, поэтому чаще всего приходится работать с элементарными функциями, которые получили из основных с помощью добавления констант и коэффициентов. Такие графики строятся при помощи геометрических преобразований заданных элементарных функций.
Рассмотрим на примере квадратичной функции вида y = — 1 3 x + 2 3 2 + 2 , графиком которой является парабола y = x 2 , которая сжата втрое относительно О у и симметрична относительно О х , причем сдвинутую на 2 3 по О х вправо, на 2 единицы по О у вверх. На координатной прямой это выглядит так:
Геометрические преобразования графика функции
Применяя геометрические преобразования заданного графика получаем, что график изображается функцией вида ± k 1 · f ( ± k 2 · ( x + a ) ) + b , когда k 1 > 0 , k 2 > 0 являются коэффициентами сжатия при 0 < k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 > 1 , k 2 > 1 вдоль О у и О х . Знак перед коэффициентами k 1 и k 2 говорит о симметричном отображении графика относительно осей, a и b сдвигают ее по О х и по О у .
Определение 1
Существует 3 вида геометрических преобразований графика:
- Масштабирование вдоль О х и О у . На это влияют коэффициенты k 1 и k 2 при условии не равности 1 , когда 0 < k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у , а растягивается по О х , когда k 1 > 1 , k 2 > 1 , то график растягивается по О у и сжимается по О х .
- Симметричное отображение относительно координатных осей. При наличии знака « — » перед k 1 симметрия идет относительно О х , перед k 2 идет относительно О у . Если « — » отсутствует, тогда пункт при решении пропускается;
- Параллельный перенос (сдвиг) вдоль О х и О у . Преобразование производится при наличии коэффициентов a и b неравных 0 . Если значение a положительное, до график сдвигается влево на | а | единиц, если отрицательное a , тогда в право на такое же расстояние. Значение b определяет движение по оси О у , что значит при положительном b функция движется вверх, при отрицательном — вниз.
Степенная функция
Рассмотрим решения на примерах, начиная со степенной функции.
Пример 1
Преобразовать y = x 2 3 и построить график функции y = — 1 2 · 8 x — 4 2 3 + 3 .
Решение
Представим функции таким образом:
y = — 1 2 · 8 x — 4 2 3 + 3 = — 1 2 · 8 x — 1 2 2 3 + 3 = — 2 x — 1 2 2 3 + 3
Где k 1 = 2 , стоит обратить внимание на наличие « — » , а = — 1 2 , b = 3 . Отсюда получаем, что геометрические преобразования производятся с растяжения вдоль О у вдвое, отображается симметрично относительно О х , сдвигается вправо на 1 2 и вверх на 3 единицы.
Если изобразить исходную степенную функцию, получим, что
при растягивании вдвое вдоль О у имеем, что
Отображение, симметричное относительно О х , имеет вид
а движение вправо на 1 2
движение на 3 единицы вверх имеет вид
Показательная функция
Преобразования показательной функции рассмотрим на примерах.
Пример 2
Произвести построение графика показательной функции y = — 1 2 1 2 ( 2 — x ) + 8 .
Решение.
Преобразуем функцию, исходя из свойств степенной функции. Тогда получим, что
y = — 1 2 1 2 ( 2 — x ) + 8 = — 1 2 — 1 2 x + 1 + 8 = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x + 8
Отсюда видно, что получим цепочку преобразований y = 1 2 x :
y = 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 x → y = 1 2 · 1 2 1 2 x → → y = — 1 2 · 1 2 1 2 x → y = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x → → y = — 1 2 · 1 2 — 1 2 x + 8
Получаем, что исходная показательная функция имеет вид
Сжимание вдвое вдоль О у дает
Растягивание вдоль О х
Симметричное отображение относительно О х
Отображение симметрично относительно О у
Сдвигание на 8 единиц вверх
Логарифмическая функция
Рассмотрим решение на примере логарифмической функции y = ln ( x ) .
Пример 3
Построить функцию y = ln e 2 · — 1 2 x 3 при помощи преобразования y = ln ( x ) .
Решение
Для решения необходимо использовать свойства логарифма, тогда получаем:
y = ln e 2 · — 1 2 x 3 = ln ( e 2 ) + ln — 1 2 x 1 3 = 1 3 ln — 1 2 x + 2
Преобразования логарифмической функции выглядят так:
y = ln ( x ) → y = 1 3 ln ( x ) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln — 1 2 x → y = 1 3 ln — 1 2 x + 2
Изобразим график исходной логарифмической функции
Производим сжимание строе по О у
Производим растягивание вдоль О х
Производим отображение относительно О у
Производим сдвигание вверх на 2 единицы, получаем
Для преобразования графиков тригонометрической функции необходимо подгонять под схему решения вида ± k 1 · f ( ± k 2 · ( x + a ) ) + b . Необходимо , чтобы k 2 приравнивался к T k 2 . Отсюда получаем, что 0 < k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х , при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.
Преобразования y = sin x
Рассмотрим примеры решения заданий с преобразованиями y = sin x .
Пример 4
Построить график y = — 3 sin 1 2 x — 3 2 — 2 с помощью преобразований функции y=sinx.
Решение
Необходимо привести функцию к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Для этого:
y = — 3 sin 1 2 x — 3 2 — 2 = — 3 sin 1 2 ( x — 3 ) — 2
Видно, что k 1 = 3 , k 2 = 1 2 , a = — 3 , b = — 2 . Так как перед k 1 имеется « — » , а перед k 2 — нет, тогда получим цепочку преобразований вида:
y = sin ( x ) → y = 3 sin ( x ) → y = 3 sin 1 2 x → y = — 3 sin 1 2 x → → y = — 3 sin 1 2 x — 3 → y = — 3 sin 1 2 ( x — 3 ) — 2
Подробное преобразование синусоиды. При построении графика исходной синусоиды y = sin ( x ) получаем, что наименьшим положительным периодом считается T = 2 π . Нахождение максимума в точках π 2 + 2 π · k ; 1 , а минимума — — π 2 + 2 π · k ; — 1 , k ∈ Z .
Производится растягивание по О у втрое, значит возрастание амплитуды колебаний возрастет в 3 раза. T = 2 π — это наименьший положительный период. Максимумы переходят в π 2 + 2 π · k ; 3 , k ∈ Z , минимумы — — π 2 + 2 π · k ; — 3 , k ∈ Z .
При растягивании по О х вдвое получаем, что наименьший положительный период увеличивается в 2 раза и равняется T = 2 π k 2 = 4 π . Максимумы переходят в π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , минимумы — в — π + 4 π · k ; — 3 , k ∈ Z .
Изображение производится симметрично относительно О х . Наименьший положительный период в данном случае не меняется и равняется T = 2 π k 2 = 4 π . Переход максимума выглядит как — π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , а минимума — π + 4 π · k ; — 3 , k ∈ Z .
Производится сдвижение графика вниз на 2 единицы. Изменение наименьшего общего периода не происходит. Нахождение максимумов с перехождением в точки — π + 3 + 4 π · k ; 1 , k ∈ Z , минимумов — π + 3 + 4 π · k ; — 5 , k ∈ Z .
На данном этапе график тригонометрической функции считается преобразованным.
Преобразование функции y = cos x
Рассмотрим подробное преобразование функции y = cos x .
Пример 5
Построить график функции y = 3 2 cos 2 — 2 x + 1 при помощи преобразования функции вида y = cos x .
Решение
По алгоритму необходимо заданную функцию привести к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Тогда получаем, что
y = 3 2 cos 2 — 2 x + 1 = 3 2 cos ( — 2 ( x — 1 ) ) + 1
Из условия видно, что k 1 = 3 2 , k 2 = 2 , a = — 1 , b = 1 , где k 2 имеет « — » , а перед k 1 он отсутствует.
Отсюда получаем, что получится график тригонометрической функции вида:
y = cos ( x ) → y = 3 2 cos ( x ) → y = 3 2 cos ( 2 x ) → y = 3 2 cos ( — 2 x ) → → y = 3 2 cos ( — 2 ( x — 1 ) ) → y = 3 2 cos — 2 ( x — 1 ) + 1
Пошаговое преобразование косинусоиды с графической иллюстрацией.
При заданной графике y = cos ( x ) видно, что наименьший общий период равняется T = 2 π . Нахождение максимумов в 2 π · k ; 1 , k ∈ Z , а минимумов π + 2 π · k ; — 1 , k ∈ Z .
При растягивании вдоль О у в 3 2 раза происходит возрастание амплитуды колебаний в 3 2 раза. T = 2 π является наименьшим положительным периодом. Нахождение максимумов в 2 π · k ; 3 2 , k ∈ Z , минимумов в π + 2 π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .
При сжатии вдоль О х вдвое получаем, что наименьшим положительным периодом является число T = 2 π k 2 = π . Производится переход максимумов в π · k ; 3 2 , k ∈ Z ,минимумов — π 2 + π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .
Симметричное отображение относительно О у . Так как график нечетный, то он не будет изменяться.
При сдвигании графика на 1 . Отсутствуют изменения наименьшего положительного периода T = π . Нахождение максимумов в π · k + 1 ; 3 2 , k ∈ Z , минимумов — π 2 + 1 + π · k ; — 3 2 , k ∈ Z .
При сдвигании на 1 наименьший положительный период равняется T = π и не изменен. Нахождение максимумов в π · k + 1 ; 5 2 , k ∈ Z , минимумов в π 2 + 1 + π · k ; — 1 2 , k ∈ Z .
Преобразования функции косинуса завершено.
Преобразования y = tgx
Рассмотрим преобразования на примере y = t g x .
Пример 6
Построить график функции y = — 1 2 t g π 3 — 2 3 x + π 3 при помощи преобразований функции y = t g ( x ) .
Решение
Для начала необходимо привести заданную функцию к виду ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b , после чего получаем, что
y = — 1 2 t g π 3 — 2 3 x + π 3 = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 + π 3
Отчетливо видно, что k 1 = 1 2 , k 2 = 2 3 , a = — π 2 , b = π 3 , а перед коэффициентами k 1 и k 2 имеется « — » . Значит, после преобразования тангенсоиды получаем
y = t g ( x ) → y = 1 2 t g ( x ) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = — 1 2 t g 2 3 x → → y = — 1 2 t g — 2 3 x → y = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 → → y = — 1 2 t g — 2 3 x — π 2 + π 3
Поэтапное преобразование тангенсоиды с графическим изображением.
Имеем, что исходный график — это y = t g ( x ) . Изменение положительного периода равняется T = π . Областью определения считается — π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .
Сжимаем в 2 раза вдоль О у . T = π считается наименьшим положительным периодом, где область определения имеет вид — π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .
Растягиваем вдоль О х в 3 2 раза. Вычислим наименьший положительный период, причем равнялся T = π k 2 = 3 2 π . А область определения функции с координатами — 3 π 4 + 3 2 π · k ; 3 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z , меняется только область определения.
Симметрия идет по сторону О х . Период не изменится в этот момент.
Необходимо симметрично отображать оси координат. Область определения в данном случае неизменна. График совпадает с предыдущим. Это говорит о том, что функция тангенса нечетная. Если к нечетной функции задать симметричное отображение О х и О у , тогда преобразуем до исходной функции.
При движении вправо на π 2 видим, что наименьшим положительным периодом является T = 3 2 π . А изменения происходят внутри области определения — π 4 + 3 2 π · k ; 5 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z .
При сдвигании графика на π 3 получаем, что изменение области определения отсутствует.
Преобразование тангенса завершено.
Тригонометрическая функция вида y = a r c cos x
Рассмотрим на примере тригонометрической функции вида y = a r c cos x .
Пример 7
Построить график функции y = 2 a r c sin 1 3 ( x — 1 ) при помощи преобразования y = a r c cos x .
Решение
Для начала необходимо перейти от арккосинуса к арксинусу при помощи обратных тригонометрических функций a r c sin x + a r c o cos x = π 2 . Значит, получим, что a r c sin x = π 2 — a r c cos x .
Видно, что y = a r c cos x → y = — a r c cos x → y = — a r c cos x + π 2 .
Поэтапное преобразование арккосинуса и графическое изображение.
График, данный по условию
Производим отображение относительно О х
Производим движение вверх на π 2 .
Таким образом, осуществляется переход от арккосинуса к косинусу. Необходимо произвести геометрические преобразования арксинуса и его графика.
Видно, что k 1 = 2 , k 2 = 1 3 , a = — 1 , b = 0 , где отсутствует знак « — » у k 1 и k 2 .
Отсюда получаем, что преобразования y = a r c sin x примет вид:
y = a r c sin ( x ) → y = 2 a r c sin ( x ) → → y = 2 a r c sin 1 3 x → y = 2 a r c sin 1 3 ( x — 1 )
Поэтапное преобразование графика арксинуса и графическое изображение.
График y = a r c sin x имеет область определения вида x ∈ — 1 ; 1 , тогда интервал y ∈ — π 2 ; π 2 относится к области значений.
Необходимо растянуть вдвое по О у , причем область определения останется неизменной x ∈ — 1 ; 1 , а область значений y ∈ — π ; π .
Растягивание по О х строе. Происходит расширение области определения x ∈ — 3 ; 3 , но область значений остается неизменной y ∈ — π ; π .
Производим сдвигание вправо на 1 , причем область определения становится равной x ∈ — 2 ; 4 . Без изменений остается область значений y ∈ — π ; π .
Задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершена. Если по условию имеются сложные функции, тогда необходимо прибегнуть к полному исследованию функция.
- Puccinotti, «Storia della medicina» (Ливорно, 1954—1959).
- Guardia, «La Médecine à travers les âges».
- З.С. Смирнова, Л.М. Борисова, М.П. Киселева и др. Доклиническое изучение противоопухолевой активности производного индолокарбазола ЛХС-1208 // Российский биотерапевтический журнал. 2014. № 1. С. 129.
- https://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/preobrazovaniya-grafikov-trigonometricheskih-funkcij/.
- https://www.mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html.
- https://reshator.com/sprav/algebra/8-klass/rastyazhenie-i-szhatie-grafikov-funkcij/.
- https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/preobrazovanie-grafikov-elementarnyh-funktsij/.
- З.С. Смирнова, Л.М. Борисова, М.П. Киселева и др. Доклиническое изучение противоопухолевой активности производного индолокарбазола ЛХС-1208 // Российский биотерапевтический журнал. 2014. № 1. С. 129.
- Wunderlich, «Geschichte der Medicin» (Штуттгардт, 1958).
- Patil H., Tiwari R. V., Repka M. A. Recent advancements in mucoadhesive floating drug delivery systems: A mini-review. Journal of Drug Delivery Science and Technology. 2016; 31: 65–71.DOI: 10.1016/j.jddst.2015.12.002.