Растяжение и сжатие графиков функций

?

Алгебра

План урока:

Понятие функции

Растяжение и сжатие графиков функций

Параллельный перенос графиков функций

Гипербола и обратная пропорциональность

Дробно-линейная функция

Понятие функции

Понятие функции в школьной программе впервые встречается в 7 классе, поэтому настоятельно рекомендуем перечитать посвященный этой теме урок. Напомним, что функцией (в учебной литературе может использоваться сокращение ф-ция) называется соответствие между элементами двух множеств или, другими словами, зависимость между двумя величинами. Чаще всего в алгебре рассматриваются числовые ф-ции, которые заданы аналитически, то есть формулой. В качестве примера можно привести запись

у = 5х + 7

Здесь х — это независимая переменная, или аргумент, а у — зависимая величина, или просто функция. Принципиально важно, что каждому значению аргумента соответствует только одно значение зависимой величины. Часто в математике используют запись

y = f (x)

Она читается как «игрек равен эф от икс» и означает, что величина у как-то зависит от х. По сути, она равноценна записи

у = у (х)

Если в скобках стоит конкретное число, то запись означает значение ф-ции при этом значении аргумента.

Так, если

у(x) = 4×2

то

у (5) = 4•52 = 100

у (10) = 4•102 = 400

У каждой ф-ции есть область допустимых значений (используется сокращение ОДЗ), или область определения функции. Это те значения аргумента, при которых ф-ция определена. Здесь возможны два случая. В первом область определения указывается прямо. Например, если рассматривается функция у = х4 при значениях х от 1 до 3, то и областью определения будет всё множество чисел от 1 до 3. Для обозначения области определения используется запись D(y) или D(f). При изучении неравенств мы уже познакомились с такими объектами, как числовые промежутки. Именно с их помощью указывают ОДЗ.

Пример. Постройте график функции у = х, если D(y) = [- 3; 4].

Решение. Ф-ция у = х — это линейная функция, мы уже умеем строить их графики (они представляют собой прямую линию). Выглядеть он будет так:

Однако в условии также есть запись D (y) = [- 3; 4], которая означает, что ф-ция определена только при х от — 3 до 4. С учетом этого условия график несколько преобразится:

Грубо говоря, часть графика, которая не входит в область определения, просто «отрезана».

Значительно чаще область определения явно не указывается. В этом случае предполагается, что ф-ция определена во всех точках числовой прямой, в которых ее вообще возможно вычислить. Например, ф-цию у = 9х3 — 47 можно вычислить при любом значении х, поэтому ее область определения — вся числовая прямая, то есть D(y) = (- ∞; + ∞).

А когда же вычислить функцию невозможно? К этому уроку нам известны две таких ситуации:

• когда в операции деления делителем является ноль, либо ноль является основанием степени с отрицательным показателем;
• когда под знаком корня находится отрицательное выражение.

Например, вычислить ф-цию у = 5/х при х = 0 невозможно, поэтому ее область определения — вся числовая прямая, кроме нуля, то есть

D(y) = (- ∞; 0)⋃(0; + ∞)

Функция

имеет область определения D(y) = [5; + ∞), так как при х< 5 подкоренное выражение становится отрицательным.

Также выделяют такое понятие, как область значений функции. Это множество всех значений, которые может принимать ф-ция. Проще всего проиллюстрировать это понятие на графике произвольной ф-ции:

Для обозначения области значений используется запись Е(у) или Е(f). Так, у ф-ции у = х2 при D(y) = [- 2; 2] областью значений будет промежуток [0; 4], то есть Е(у) = [0; 4]. Это видно из графика функции:

Ещё раз напомним, что область определения и область значения функции указываются с помощью числовых промежутков.

Теперь перейдем к тем понятиям, которые не изучались ранее. Первое из них — это нули функции. Так называют те значения аргумента, при которых функция обращается в ноль.

Так, у ф-ции

у = х2 — 9х + 20

есть два нуля, х = 4 и х = 5. Убедиться в этом можно подстановкой:

у(4) = 42 — 9•4 + 20 = 0

у (5) = 52 — 9•5 + 20 = 0

Для нахождения нулей ф-ции у = f(x) надо просто решить уравнение

f(x) = 0

Например, чтобы найти нули приведенной выше функции

у = х2 — 9х + 20

надо решить уравнение

х2 — 9х + 20 = 0

Сделаем это, ведь мы уже умеем решать квадратные уравнения:

D = (- 9)2 — 4•1•20 = 1

На графике нули ф-ции — это те точки, в которых график пересекает ось Ох:

Ещё одно новое понятие — промежутки знакопостоянства. Так называют промежутки числовой прямой, на которых ф-ция либо только положительна, либо только отрицательна. Для наглядности покажем их на графике:

Пусть есть ф-ция у = f(x). Для нахождения промежутков знакопостоянства необходимо решить неравенства f(x)>0 и у = f(x)< 0.

Пример. Найдите промежутки знакопостоянства функции у = 3х — 36

Решение. Решим неравенство 3х — 36 > 0:

3х> 0

3х >36

х > 12

Получаем, что функция положительна на промежутке (12; + ∞).

Аналогично решив неравенство 3х — 36 < 0, получим, что ф-ция отрицательна на промежутке (- ∞; 12).

Пример. Дана функция у = х2 — 5х. Найдите такое значение величины а, для которого выполняется условие у(а) = у(а + 2).

Решение. Очевидно, что у(а) = а2 — 5а. Теперь вычислим у(а + 2):

у(а + 2) = (а + 2)2 — 5(а + 2) = а2 + 4а + 4 — 5а — 10 = а2 — а — 6.

Теперь приравняем значения у(а) и у(а + 2):

а2 — 5а = а2 — а — 6

а2 — 5а — а2 + а = — 6

— 4а = — 6

а = 1,5

Убедимся, что мы нашли требуемое значение а:

у(1,5) = 1,52 — 5•1,5 = 2,25 — 7,5 = — 5,25

у(1,5 + 2) = у(3,5) = 3,52 — 5•3,5 = 12,25 — 17,5 = — 5,25

Ответ: 1,5

Пусть на координатной плоскости есть точка А с координатами (х0; у0). Куда переместится эта точка, если ее ордината (то есть у0) увеличится, например, в два или в три раза? Она отодвинется от оси Ох. Если же ее ордината уменьшится, то точка приблизится к оси. Наконец, если ордината поменяет знак, то точка, изначально, лежащая выше оси, окажется ниже её. Проиллюстрируем это на картинке:

Пусть есть пара функций у(х) и g = k•у(х), где k- какое-то постоянное число (константа), не равная нулю. Примерами таких пар являются:

• у = х и g = 3х (здесь k = 3);
• у = х2 и g = — 0,7х2 (k = — 0,7)
• y = x2 + 2x + 4 и g = 4(x2 + 2x + 4) = 4х2 + 8х + 16 (k = 4).

Посмотрим, как связаны графики таких функций. На рисунке красным цветом показана функция у(х), а синим g = 2у(x):

При любом значении аргумента выполняется условие g(х) = 2у(х). Это значит, что ордината (координата у) каждой точки графика g(х) вдвое больше, чем ордината соответствующей точки графика у(х). В частности, отрезок АА2 вдвое длиннее отрезка АА1:

АА2 = 2АА1

Аналогично можно записать, что

BB2 = 2BB1

Таким образом, график g(x) выглядит так, будто бы график у(х) «растянули» в 2 раза. Каждая точка «переезжает» на новое место, сдвигаясь по вертикали. Так, если точка А1 имела координаты (- 6; 2), то при растяжении графика функции она получит координаты (- 6; 4), то есть ее координата у увеличится вдвое. Точка B1 имела координаты (2; — 2), а в графике g(х) занимает позицию (2; — 4).

Убедимся в этом на примере ф-ций у = х2 и g = 2х2:

• при х = 1 имеем у(1) = 12 = 1; g(х) = 212 = 2
• при х = 2 получаем у(2) = 22 = 4 и g(x) = 222 = 8
• при х = 3 у(3) = 32 = 9 и g(3) = 232 = 18

В общем случае говорят, что график функции g(х) = ky(x) получается растяжением графика у(х) в k раз.

Пример. Функция у(х) задана графически:

Постройте график функции g(х) = 3у(х).

Решение. Каждую точку отодвинем от оси Ох, увеличив координату у точек в 3 раза:

Если коэффициент k находится в пределах 0 < k < 1, то график не растягивается, а наоборот, «сжимается». Точки перемещаются ближе к оси Ох.Для примера посмотрим на график ф-ции у = 0,5х2. Он может быть получен сжатием графика функции у = х2:

При сжатии графика каждая точка параболы приближается к оси Ох, при этом ордината точек уменьшается вдвое. Так, точка А2 с координатами (3; 9) переходит в точку А1 с координатами (3; 4,5).

Отдельно стоит рассмотреть случай, при котором коэффициент k является отрицательным. В этом случае график отображается симметрично относительно оси Ох. Те точки, которые имели изначально положительную ординату и находились выше Ох, в результате получают отрицательную ординату и оказываются ниже оси Ох. Покажем на рисунке графики ф-ций у = х2 и у = — х2 (то есть k =- 1):

Если же, например, коэффициент k = — 2, то надо и растянуть график, и перевернуть его относительно оси Ох. В частности, так выглядит график у = — 2х2:

Параллельный перенос графиков функций

Теперь посмотрим, как передвинется отдельная точка на координатной плоскости, если к ее ординате добавить какое-нибудь число. Если это число положительное, то точка поднимется выше, а если отрицательное, то она опустится:

Это означает, что если к какой-нибудь функции добавить некоторое число, то график функции переместится вверх или вниз. Для примера построим графики функций у = х2 + 2 и у = х2 — 5:

График у = х2 + 2 представляет собой тот же график у = х2, то есть параболу, который подняли на две единицы вверх. График у = х2 — 5 получен за счет сдвига вниз на 5 единиц этой же параболы. Подобное перемещение называют параллельным переносом графика функции.

Параллельный перенос возможен не только в вертикальном, но и в горизонтальном направлении. Для такого перемещения надо изменить абсциссу точки, а не ординату:

Аналогично может сдвинуться не только точка, но и целый график функции. Если вместо аргумента х подставить в ф-цию величину (х +n), то график сместится на n единиц влево.

Проиллюстрируем это с помощью ф-ций у = х2 и g = (х + 3)2. Будем вычислять значения обеих ф-ций в некоторых точках, причем для функции g будем брать значения х, меньше на три единицы:

у(0) = 02 = 0 и g(- 3) = g(- 3 + 3)2 = 02 = 0

у(- 1) = (- 1)2 = 1 и g(- 4) = g(- 4 + 3)2 = (- 1)2 = 1

у(- 2) = (- 2)2 = 4 и g(- 5) = g(- 5 + 3)2 = (- 2)2 = 4

Видно, что одинаковые значения ф-ции принимают тогда, когда аргумент у ф-ции g меньше на 3. Это значит что если сместить точку графика у = х2 на 3 единицы влево, по она попадает на график g = (х + 3)2.

Точка А1 сдвинулась влево на 3 единицы и перешла в точку А2. Аналогично точка В1 отобразилась в точку В2.

Пусть в общем случае есть функции у = у(х) и g(x) = у(х +n), где n — некоторое постоянное число. Значение у(х) в точке х0 обозначается как у0. Теперь найдем значение g(x) в точке (х0 — n):

g(х0-n) = у(х0 -n+n) = y(x0).

Получили, то же самое значение, что и у у(х). Покажем это на рисунке:

Рассмотрим теперь случай, когда график сдвигается вправо. Для этого из аргумента исходной функции надо вычесть какое-то число. На рисунке показаны графики функций у = 2х и у = 2(х — 4):

Каждая точка исходного графика (например, А1) «переехала» на 4 единицы вправо.

Надо понимать, что иногда один график можно получить из другого в несколько переходов. Пусть надо построить график у = — (х — 4)2 + 5. Его можно получить из обычной параболы у = х2 в три шага.

Сперва строим график у = (х — 4)2. Вершина параболы, как и все остальные точки, сместится на 4 позиции вправо:

Далее построим график у = — (х — 4)2. Для этого его надо отобразить симметрично относительно оси Ох (ось симметрии параболы не сдвигается, но ее ветви будут направлены вниз, а не вверх):

Последний шаг — это построение графика у = — (х — 4)2 + 5. Его можно получить, подняв предыдущий график на 5 единиц вверх:

Гипербола и обратная пропорциональность

Ранее мы уже строили графики степенных функций. Однако мы рассматривали только случаи, при которых показателем в степени являлось натуральное число. Теперь же изучим функцию у = х- 1. Напомним, что по определению отрицательной степени

Найдем область определения функции у = 1/х. Ясно, что аргумент не может равняться нулю, так как иначе получим деление на ноль:

у(0) = 1:0

При любых других значениях х значение у вычислить можно, а потому областью определения будет промежуток (- ∞; 0)⋃(0;+ ∞).

При положительных значениях аргумента ф-ция также будет положительной:

у(5) = 1:5 = 0,2

у(2) = 1:2 = 0,5

у(10) = 1:10 = 0,1

При отрицательных х величина у будет становиться отрицательной:

у(- 5) = 1:(- 5) = — 0,2

у(- 2) = 1:(- 2) = — 0,5

у(- 10) = 1:(- 10) = — 0,1

Это означает, что график ф-ции будет располагаться в I и III четвертях.

Можно заметить, что чем больше х, тем ближе у к нулю:

у(1) = 1

у(10) = 0,1

у(100) = 0,01

И наоборот, чем ближе х к нулю, тем больше у:

у(0,1) = 1:0,1 = 10

у(0,01) = 100

у (0,001) = 1000

При этом у не может равняться нулю. Действительно, дробь равна нулю только тогда, когда ее числитель равен нулю. Однако варьируя х, мы меняем только знаменатель, а в числителе остается единица. Поэтому областью значений функции у = х- 1 является промежуток (- ∞; 0)⋃(0;+ ∞).

Для построения графика найдем некоторые точки графика и занесем их в таблицу. Мы построим две таблицы — одну для положительных х, другую для отрицательных:

Теперь можно посмотреть и на сам график:

Первое, что бросается в глаза — это то, что график не представляет собой единую, непрерывную линию. Он разбит на две ветви, одна из которых располагается в III четверти, а другая — в I четверти. Такой «разрыв» связан с тем, что ноль не входит в область определения ф-ции.

Также можно заметить симметричность графика. Действительно, одна из ветвей является симметричным отображением второй ветви.

Построенный нами график называется гиперболой.

На координатной плоскости есть две прямые линии, к которым гипербола приближается, но при этом он не касается их. Это оси Ох и Оу. Для наглядности покажем их штриховой линией:

В математике подобные линии называют асимптотами функции. Горизонтальная асимптота прямая соответствует линии х = 0, а вертикальная асимптота линии у = 0.

Зная, как выглядит график у = 1/х, мы можем построить и другие, схожие с ним графики для ф-ций у = k/х, где k- это некоторое число. Их можно получить из гиперболы, используя сжатие и растяжение графиков. Если коэффициент k больше единицы, то график «отдаляется» от осей Ох и Оу:

Все эти линии являются примерами гипербол. Если коэффициент k отрицательный, то графики переворачиваются относительно оси Ох и занимают II и IV четверти:

Все приведенные зависимости вида у = k/х называют обратными пропорциональностями.

Примерами обратной пропорциональности являются ф-ции:

Обратная пропорциональность очень часто встречается в жизни. Так, время, затрачиваемое на поездку на автомобиле, обратно пропорционально средней скорости движения. Количество товара, которое можно купить на одну зарплату, обратно пропорционально стоимости этого товара.

Дробно-линейная функция

Теперь рассмотрим несколько более сложные ф-ции, чьи графики, однако, также представляют собой гиперболу. Пусть есть ф-ция вида

Как будет выглядеть ее график? Для ответа на этот вопрос выполним преобразование:

Здесь мы в числителе и знаменателе добавили и сразу вычли слагаемое 2.Этот прием помог нам выделить целую часть из дроби. В результате мы получили ф-цию, график которой можно получить с помощью двух параллельных переносов графика у = 6/х. Сначала график сместится на две единицы вправо:

На следующем шаге график поднимется на единицу вверх:

Стоит обратить внимание, что при таком передвижении гиперболы передвигаются и асимптоты графика гиперболы:

Функция

представляет собой дробь, являющуюся отношением двух линейных многочленов, х + 3 и х — 2. В математике подобные ф-ции называют дробно-линейными функциями. В качестве примеров дробно-линейных функций можно привести:

Из любой дробно-линейной функции можно выделить целую часть. Покажем это на нескольких примерах:

Во всех этих случаях график дробно-линейной функции можно построить с помощью двух параллельных переносов гиперболы.

Однако есть одно исключение. Иногда при выделении из дроби целой части дробной части не остается вовсе, то есть линейные полиномы можно сразу сократить. Например:

Графиком таких функций являются прямые горизонтальные линии. Однако на них должна быть одна «исключенная». Действительно, пусть надо построить график ф-ции

Проведя преобразования, получим

то есть у = 2. Однако в знаменателе дроби не может стоять ноль. Если же подставить в дробь х = — 2, то получим деление на ноль:

Поэтому график ф-ции будет выглядеть так:

Итак, по итогам урока мы узнали:

1. как растягиваются и сжимаются графики;
2. как графики функций переносятся вверх-вниз и влево-вправо;
3. что такое обратная пропорциональность и как выглядит ее график — гипербола;
4. как выглядит дробно-линейная функция, и каким образом ее график можно получить из гиперболы с помощью параллельных переносов.