Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.
На практике очень часто встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или совместным действием на балку продольных и поперечных сил, или только одними продольными силами.
Первый случай изображен на Рис.1. На балку АВ действуют равномерно распределенная нагрузка q и продольные сжимающие силы Р.
Рис.1. Совместное действие изгиба и сжатия.
Предположим, что прогибами балки по сравнению с размерами поперечного сечения можно пренебречь; тогда с достаточной для практики степенью точности можно считать, что и после деформации силы Р будут вызывать лишь осевое сжатие балки.
Применяя способ сложения действия сил, мы можем найти нормальное напряжение в любой точке каждого поперечного сечения балки как алгебраическую сумму напряжений, вызванных силами Р и нагрузкой q.
Сжимающие напряжения от сил Р равномерно распределены по площади F поперечного сечения и одинаковы для всех сечений:
нормальные напряжения от изгиба в вертикальной плоскости в сечении с абсциссой х, которая отсчитана, скажем, от левого конца балки, выражаются формулой
Таким образом, полное напряжение в точке с координатой z (считая от нейтральной оси) для этого сечения равно
На Рис.2 изображены эпюры распределения напряжений в рассматриваемом сечении от сил Р, нагрузки q и суммарная эпюра.
Наибольшее напряжение в этом сечении будет в верхних волокнах, где оба вида деформации вызывают сжатие; в нижних волокнах может быть или сжатие или растяжение в зависимости от числовых величин напряжений и . Для составления условия прочности найдем наибольшее нормальное напряжение.
Рис.2. Сложение напряжений сжатия и изгиба
Так как напряжения от сил Р во всех сечениях одинаковы и равномерно распределены, то опасными будут волокна, наиболее напряженные от изгиба. Такими являются крайние волокна в сечении с наибольшим изгибающим моментом; для них
Таким образом, напряжения в крайних волокнах 1 и 2 среднего сечения балки выражаются формулой
,
и расчетное напряжение будет равно
Если бы силы Р были растягивающими, то знак первого слагаемого изменился бы, опасными были бы нижние волокна балки.
Обозначая буквой N сжимающую или растягивающую силу, можем написать общую формулу для проверки прочности:
(27.1) |
Описанный ход расчета применяется и при действии на балку наклонных сил. Такую силу можно разложить на нормальную к оси, изгибающую балку, и продольную, сжимающую или растягивающую.
Внецентренное сжатие или растяжение.
Вторым практически важным случаем сложения деформаций от изгиба и от продольных сил является так называемое внецентренное сжатие или растяжение, вызываемое одними продольными силами. Этот вид деформации получается при действии на стержень двух равных и прямопротивоположных сил Р, направленных по прямой АА, параллельной оси стержня (Рис.3 а). Расстояние точки А от центра тяжести сечения ОА=е называется эксцентриситетом.
Рассмотрим сначала случай внецентренного сжатия, как имеющий большее практическое значение.
Нашей задачей явится нахождение наибольших напряжений, материале стержня и проверка прочности. Для решения этой задачи приложим в точках О по две равные и противоположные силы Р (Рис.3 б). Это не нарушит равновесия стержня в целом и не изменит напряжений в его сечениях.
Силы Р, зачеркнутые один раз, вызовут осевое сжатие, а пары сил Р, зачеркнутые дважды, вызовут чистый изгиб моментами . Расчетная схема стержня показана на Рис.3 в. Так как плоскость действия изгибающих пар ОА может не совпадать ни с одной из главных плоскостей инерции стержня, то в общем случае имеет место комбинация продольного сжатия и чистого косого изгиба.
Так как при осевом сжатии и чистом изгибе напряжения во всех сечениях одинаковы, то проверку прочности можно произвести для любого сечения, хотя бы С-С (Рис.3 б, в).
Отбросим верхнюю часть стержня и оставим нижнюю (Рис.3 г). Пусть оси Оу и Oz будут главными осями инерции сечения.
Рис.3. а) расчетная схема б) преобразование нагрузок в)приведенная расчетная схема г) механизм исследования напряжений
Координаты точки А, — точки пересечения линии действия сил Р с плоскостью сечения, — пусть будут и . Условимся выбирать положительные направления осей Оу и Oz таким образом, чтобы точка А оказалась в первом квадранте. Тогда и будут положительны.
Для того чтобы отыскать наиболее опасную точку в выбранном сечении, найдем нормальное напряжение в любой точке В с координатами z и у. Напряжения в сечении С — С будут складываться из напряжений осевого сжатия силой Р и напряжений от чистого косого изгиба парами с моментом Ре, где . Сжимающие напряжения от осевых сил Р в любой точке равны , где — площадь поперечного сечения стержня; что касается косого изгиба, то заменим его действием изгибающих моментов в главных плоскостях. Изгиб в плоскости х Оу вокруг нейтральной оси Oz будет вызываться моментом и даст в точке В нормальное сжимающее напряжение
Точно так же нормальное напряжение в точке В от изгиба в главной плоскости х Oz, вызванное моментом , будет сжимающим и выразится формулой.
Суммируя напряжения от осевого сжатия и двух плоских изгибов и считая сжимающие напряжения отрицательными, получаем такую формулу для напряжения в точке В:
(1) |
Эта формула годится для вычисления напряжений в любой точке любого сечения стержня, стоит только вместо у и z подставить координаты точки относительно главных осей с их знаками.
В случае внецентренного растяжения знаки всех составляющих нормального напряжения в точке В изменятся на обратные. Поэтому для того, чтобы получать правильный знак напряжений как при внецентренном сжатии, так и при внецентренном растяжении, нужно, кроме знаков координат у и z, учитывать также и знак силы Р; при растяжении перед выражением
должен стоять знак плюс, при сжатии — минус.
Полученной формуле можно придать несколько иной вид; вынесем за скобку множитель ; получим:
(2) |
Здесь и — радиусы инерции сечения относительно главных осей (вспомним, что и ).
Для отыскания точек с наибольшими напряжениями следует так выбирать у и z, чтобы достигло наибольшей величины. Переменными в формулах (1) и (2) являются два последних слагаемых, отражающих влияние изгиба. А так как при изгибе наибольшие напряжения получаются в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, то здесь, как и при косом изгибе, надо отыскать положение нейтральной оси.
Обозначим координаты точек этой линии через и ; так как в точках нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю, то после подстановки в формулу (2) значений и получаем:
или
(3) |
Это и будет уравнение нейтральной оси. Очевидно, мы получили уравнение прямой, не проходящей через центр тяжести сечения.
Чтобы построить эту прямую, проще всего вычислить отрезки, отсекаемые ею на осях координат. Обозначим эти отрезки и . Чтобы найти отрезок , отсекаемый на оси Оу, надо в уравнении (3) положить
;
тогда мы получаем:
и | (4) |
подобным же образом, полагая
;
получаем:
(5) |
Если величины и положительны, то отрезки и будут отрицательны, т. е. нейтральная ось будет расположена по другую сторону центра тяжести сечения, чем точка А (Рис.3 г).
Нейтральная ось делит сечение на две части — сжатую и растянутую; на Рис.3 г растянутая часть сечения заштрихована. Проводя к контуру сечения касательные, параллельные нейтральной оси, получаем две точки и , в которых будут наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения.
Измеряя координаты у и z этих точек и подставляя их значения в формулу (1), вычисляем величины наибольших напряжений в точках и :
Если материал стержня одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие прочности получает такой вид:
Для поперечных сечений с выступающими углами, у которых обе главные оси инерции являются осями симметрии (прямоугольник, двутавр и др.) и Поэтому формула упрощается, и мы имеем
Если же материал стержня неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо проверить прочность стержня как в растянутой, так и в сжатой зонах.
Однако может случиться, что и для таких материалов будет достаточно одной проверки прочности. Из формул (4) и (5) видно, что положение точки А приложения силы и положение нейтральной оси связаны: чем ближе подходит точка А к центру сечения, тем меньше величины и и тем больше отрезки и . Таким образом, с приближением точки А к центру тяжести сечения нейтральная ось удаляется от него, и наоборот. Поэтому при некоторых положениях точки А нейтральная ось будет проходить вне сечения и все сечение будет работать на напряжения одного знака. Очевидно в этом случае всегда достаточно проверить прочность материала в точке .
Разберем практически.важный случай, когда к стержню прямоугольного сечения (Рис. 4) приложена внецентренно сила Р в точке А, лежащей на главной оси сечения Оу. Эксцентриситет ОА равен е, размеры сечения b и d. Применяя полученные выше формулы, имеем:
Рис.4. Расчетная схема бруса прямоугольного сечения.
Напряжение в любой точке В равно
так как
Напряжения во всех точках линии, параллельной оси Oz, одинаковы. Положение нейтральной оси определяется отрезками
Нейтральная ось параллельна оси Oz; точки с наибольшими растягивающими и сжимающими напряжениями расположены на сторонах 1-1 и 3-3.
Значения и получатся, если подставить вместо у его значения . Тогда
Дальше…
Сложное сопротивление.
Сложное сопротивление — одновременное действие на брус нескольких простых видов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, кручения и изгиба. Например, совместное действие растяжения и кручения.
Косой изгиб.
Косой изгиб — это изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса.
В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Qx, Qy и изгибающие моменты Mx , My. Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают.
Нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.
Условие прочности при косом изгибе:
где ymax, xmax — координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.
Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности:
где Wx , Wy — осевые моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей.
Если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку его прочности выполняют по допускаемым и растягивающим и сжимающим напряжениям.
Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей:
Изгиб с растяжением (сжатием).
При таком виде сложного сопротивления внутренние силовые факторы приводятся к одновременному действию продольной силы N и изгибающего момента M.
Рассмотрим случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консольный брус действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса:
К расчёту на прочность бруса при изгибе с растяжением:
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Разложим силу F на три составляющие. Тогда внутренние силовые факторы приобретут следующий вид:
Напряжение в произвольно выбранной точке Д, имеющей координаты (хд, уд), пренебрегая действием поперечных сил, будут определяться по формуле:
где А — площадь поперечного сечения.
Если сечение имеет две оси симметрии (двутавр, прямоугольник, круг), наибольшее напряжение определяют по формуле:
Условие прочночти имеет вид:
Также как и в случае косого изгиба, если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку прочности проводят по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Внецентренное растяжение или сжатие.
При таком виде сложного сопротивления продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса.
К расчёту на прочность бруса при внецентренном растяжении
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Приведём силу F к центру тяжести:
где уF , xF — координаты точки приложения силы F.
В произвольной точке Д, с координатами (хд, уд), нормальное напряжение определяется по фомуле:
Условие прочности для бруса, изготовленного из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет вид:
Для бруса, который неодинаково работает на растяжение и на сжатие проверка прочности по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Кручение с изгибом.
Сочетание деформаций изгиба и кручения характерно для работы валов машин.
Напряжения в сечениях вала возникают от кручения и от изгиба. При изгибе появляются нормальные и касательные напряжения:
Эпюры напряжений в сечении бруса при кручении с изгибом
Нормальное напряжение достигает максимума на поверхности:
Касательное напряжение от крутящего момента Mz достигает максимума также на поверхности вала:
Из третьей и четвёртой теории прочности:
При кручении с изгибом условие прочности имеет вид:
Изгиб с растяжением (сжатием)
Содержание:
- Изгиб с растяжением (сжатием)
Изгиб с растяжением (сжатием)
- Изгиб с натяжением (сжатие)) Расчет совместного действия изгиба и растяжения можно свести к следующим двум основным видам: а) расчет на действие продольных и поперечных нагрузок; б) расчет на действие внецентрового натяжения. Отдельно необходимо учитывать изгиб при растяжении (сжатии) кривой SA (br). Сложный изгиб за счет растяжения (сжатия) прямого стержня. В целом(рис. 325, а) в поперечном сечении изгибается момент L4g и M y в двух
плоскостях, поперечная сила Qz и Quy и продольная сила N(рис. 325, б). В этом случае возникают сложные изгибы Рис триста двадцать пять Растянуть или сжать. Нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения (12.19) Изгибающие моменты, продольные силы и координаты точек, в которых рассчитываются напряжения, заменяются здесь их знаками
. Можно предположить, что напряженное состояние в опасной точке является линейным, игнорируя тангенциальное напряжение от боковой силы. Поэтому Людмила Фирмаль
условия интенсивности имеют простейшую форму: (12.20 утра)) Если сечение имеет две оси симметрии и выступающий угол, то одна из угловых точек опасна. Напряжение в ее aprds- 338, согласно формуле (12.19) или так 1: 1 при изгибе на сжатие приведенная выше формула может быть применена только к короткому стержню высокой жесткости, поскольку потеря устойчивости возможна в случае тонкого длинного стержня (№ 19). (12.21)
Символы в этом выражении объединяются на основе комбинации или комбинации с выражением (12.19). В случае плоского изгиба в основной плоскости UX с растяжением (сжатием) трехчленное кольцо является одним из двухчленных колец: Эти формулы используются при расчете прочности плоских рам и арок малой кривизны. В этом случае опасность представляет та часть, где действует максимальный изгибающий момент L4max. В случае
- расчета стержня с поперечным сечением любой формы для определения опасных точек сечения, метод определения положения нейтральной линии должен сначала установить все положения нейтральной линии, которые будут рассмотрены ниже при рассмотрении смещенного от центра участка. Пример 51. Выберите сечение двутавровой балки плоского стального каркаса (рис. 326, а) [о]=1600 кгс / см2*. Путем определения эталонной реакции и графика мг и / в(Фиг. 326, b, C), участок d правой стойки опасен, L1m AKS=57 * 104kgf * cm; N=-63,9 * 102kgf. Опасные точки этого участка находятся слева(рис. Здесь, потому что напряжение от Mz и L’is добавлено
арифметически, 326, g). В соответствии с формулой (12.22) условие прочности записывается следующим образом: 57 * 101 Макс° 63.9 * 102 Ф кг / СМ1 1600кг / см2. (12.23) Условия интенсивности It-339z включают две неизвестные величины? И еще F. In в большинстве случаев напряжение o>от изгиба больше продольной силы, поэтому при выборе сечения}опустите второе слагаемое первым, а приблизительное значение U7″ 11,^л ш «с м3= = 3 5 6°’ 3 — Затем, согласно ассортименту (Приложение 1), нужно выбрать двутавровый пучок, но нужно выбрать двутавровый пучок № 27, выбрать 371 см3, F=40,2 см2 и проверить интенсивность выбранного участка.»—1″ «~ ^ ) ‘2 ~ ~ C g s / cm2″1526+159kgs / cm2=1695KGE^m2. Перенапряжений 1695-1600 100% и 6%>5%, Шестьсот тысяч Поэтому, принимая следующее большее число двутавровых балок 27a
(U’2=407 см», F= = 43. 2cm2), необходимо увеличить размер поперечного сечения Людмила Фирмаль
Вытягивать прямого луча нецентральный (обжатие). Ядро секции. Смещенное от центра растяжение(сжатие)-это комплекс, который предполагает растяжение (сжатие) таким образом, что балка растягивается силой, параллельной оси балки и в результате не совпадающей с осью балки 327), и проходит через точку Р, пусть одна сила Р называется силовым полюсом, параллельным оси бруса и поперечным сечением ее выступает как 327)координаты этой точки в системе главной оси сечения обозначаются gr, а расстояние этой точки до оси x, которое называется эксцентриситетом, секция R9M G= = Рур при таких нагрузках. Следовательно, напряжение в любой точке поперечного сечения добавляется к осевым растягивающим силам N
и Hi — и Mg4-y-g+ Моменты 13mf для напряжения на изгиб/ — А я-нет!’jy АF ЮЖД Если вы поставите его здесь вместо N, Mv, Mz, вы получите P г о= — у-(12.24) (12.25)) 340 этой формуле можно придать несколько иную форму, выражая главный момент инерции через радиус инерции: (12.26) Для выявления опасных точек сложного профиля рекомендуется создать нейтральную линию поперечного сечения. Угроза сечения будет представлять собой точку, наиболее удаленную от нейтральной линии. Уравнение нейтральной линии получается путем уравнивания правой части уравнения (12.26) к нулю
, указывая координаты точек на нейтральной линии, проходящих через y0 и z0: g L2O+^Y o=-1-（12.27） 328）：zH= — v -; (2.28) следует из зависимости (12.28), где нейтральная линия пересекает координатные оси в точке, принадлежащей квадранту, противоположному тому, в котором расположена точка p. Теперь, если вы проведете параллель к нейтрали на контуре разреза, вы найдете наиболее подчеркнутые точки A и B в расширенной и сжатой зонах разреза(рис. 328). Напряжение на этих точках и их силовое состояние имеет вид П Жульничество-Р Касательная
П Omnn- & в ЖП (12.29) +2л+уа^< ?CES2l, точка A и точка b-2, соответственно-I E. фигура напряжения o показана на рисунке. Для 328 прямоугольных поперечных сечений удобнее представить условия прочности в виде: °Тиахс-Р Б— 1— jp A<[O j. (12.30) Формулы (12.29)и (12.30) также эффективны в случае сил сжатия, когда отсутствует риск продольного изгиба. Ядро секции. До сих пор нейтральные линии изображались как проходящие через поперечное сечение, но в целом они, вероятно, выйдут за его пределы. На самом деле, если сила P приложена к центру 341тяжести, и нейтральная линия проходит бесконечно, поэтому напряжение в этом случае равномерно
распределяется по поперечной плоскости. По мере увеличения эксцентриситета е (рис. 329) нейтральная линия приближается к положению с поперечным сечением и силой Р(рис. Например, позиция 329 D3) сначала касается контура секции. При дальнейшем увеличении эксцентриситета нейтральная линия будет пересекать поперечное сечение, а нормальное напряжение сечения будет иметь оба знака. Рис триста двадцать девять Интересно установить область такого расстояния силы р от оси, при котором нормальное напряжение всего поперечного сечения становится одинаковым знаком. Эта область называется основной секцией. Это важно для брусков, изготовленных
из материалов, не сопротивляющихся растяжению (например, кирпич, бетон, серый чугун). Таким образом, сердцевина поперечного сечения представляет собой область вокруг центра тяжести поперечного сечения, и если нагрузка вне центра находится в области сердцевины, то нормальное напряжение во всех точках поперечного сечения имеет один знак. Чтобы построить сердцевину сечения, укажите различные положения нейтральной линии, касательной к контуру сечения, а затем примените силу Р по следующему уравнению, вытекающему из Формулы (12.28).): Вычисленные
координаты определяют точки, лежащие на границе ядра разреза. Для облегчения построения основного сечения используются следующие свойства нейтральной линии: когда нейтральная линия вращается вокруг неподвижной точки и контура сечения, она используется для приложения силы ок.- 342∙этой характеристики достаточно, чтобы заменить координаты точки а (стена,ОА), находящейся на нейтральной линии, уравнением (12.27). Возьми В Урва Г 1. (12.32) Фактически уравнение zqA=const(12.32), UOL=const является уравнением прямой относительно координат точек приложения силы P-(UR1 2P). Поэтому, чтобы построить ядро сечения фигуры,
нужно нарисовать ряд нейтральных позиций линий, совпадающих со сторонами сечения. Построим, например, сердцевину сечения прямоугольного БКД(рис. 330). Нейтральная линия совместима со стороной CD (позиция 1-1). Очевидно, в этом случае Б Ы и 2 * — 0 0 * Тогда из Формулы (12.31)) УР= Это считается I2 _ ООО; 12bh22′ Таким образом, определяются координаты точек G ядер Chay и I. Выровняйте нейтральную линию по рекламной стороне (позиция 2-2). Иметь х И / Четыре. Ан° » 2 Тогда координаты точки 2 ′ ядра Аналогичным образом определяются координаты точек 3-3 и 4-4, соответствующие
положениям нейтральных линий 3 ‘и 4′. С момента перехода нейтральной линии из одной стороны в другую она вращается вокруг угловой точки поперечного сечения, и точки силы движутся по прямой, образуя контур ядра. Итак, сердцевиной сечения будет ромб с диагональю, равной одной трети соответствующей стороны сечения. Пример 52. Построить сердцевину сечения для кругового сечения(рис. 331). В круге все центральные оси являются главными. Таким образом, если в любой точке А соприкасается с нейтральной
линией 1-1, то точка D также находится в проходящем диаметре 343 точки L, и ее координаты равны: Очевидно, можно сделать вывод, что благодаря симметрии сечения ядро сечения также становится окружностью с радиусом Рис 332Fig. Триста, тридцать, тридцать, тридцать, тридцать, тридцать три Конструкция центроплана для двутавровой балки (рис. 332), канал (фиг. 333) и треугольник(рис. 334) лидер рекомендует выполнять себя.
Смотрите также:
- Решение задач по сопротивлению материалов
- Wise, «Review of the History of Medicine» (Л., 1967).
- Renouard, «Histoire de la medicine» (П., 1948).
- Bangun H., Aulia F., Arianto A., Nainggolan M. Preparation of mucoadhesive gastroretentive drug delivery system of alginate beads containing turmeric extract and anti-gastric ulcer activity. Asian Journal of Pharmaceutical and Clinical Research. 2019; 12(1):316–320. DOI: 10.22159/ajpcr.2019.v12i1.29715.
- https://toehelp.ru/theory/sopromat/27.html.
- https://xn--80axfaegeoa.xn--p1ai/Theory/Theory-9.html.
- https://lfirmal.com/izgib-s-rastyazheniem-szhatiem/.
- З.С. Смирнова, Л.М. Борисова, М.П. Киселева и др. Доклиническое изучение противоопухолевой активности производного индолокарбазола ЛХС-1208 // Российский биотерапевтический журнал. 2014. № 1. С. 129.
- Киржанова Е. А., Хуторянский В. В., Балабушевич Н. Г., Харенко А. В., Демина Н. Б. Методы анализа мукоадгезии: от фундаментальных исследований к практическому применению в разработке лекарственных форм. Разработка и регистрация лекарственных средств. 2014; 3(8): 66–80. DOI: 10.33380/2305-2066-2019-8-4-27-31.
- Haeser, «Handbuch der Gesch. d. Medicin».
