Техническая механика

Тема 2.2. Растяжение и сжатие. Продольные и поперечные деформации. Закон Гука

Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи.

Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета напря­жений и перемещений.

Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость стати­чески определимых брусьев при растяжении и сжатии.

Деформации при растяжении и сжатии

Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F (рис. 21.1).

В сопротивлении материалов принято рассчитывать деформа­ции в относительных единицах:

Между продольной и поперечной деформациями существует за­висимость

где μ- коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, -характеристика пластичности материала.

Закон Гука

В пределах упругих деформаций деформации прямо пропорци­ональны нагрузке:

где F — действующая нагрузка; к — коэффициент. В современной форме:

Получим зависимость

где Е — модуль упругости, ха­рактеризует жесткость материала.

В пределах упругости нормальные напряжения пропорциональ­ны относительному удлинению.

Значение Е для сталей в пределах (2 — 2,1) • 105МПа. При прочих равных условиях, чем жестче материал, тем меньше он деформируется:

Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии

Используем известные формулы.

Относительное удлинение

В результате получим зависимость между нагрузкой, размерами бруса и возникающей деформацией:

где

Δl — абсолютное удлинение, мм;

σ — нормальное напряжение, МПа;

l — начальная длина, мм;

Е — модуль упругости материала, МПа;

N — продольная сила, Н;

А — площадь поперечного сечения, мм2;

Произведение АЕ называют жесткостью сечения.

Выводы

1. Абсолютное удлинение бруса прямо пропорционально вели­чине продольной силы в сечении, длине бруса и обратно пропорцио­нально площади поперечного сечения и модулю упругости.

2. Связь между продольной и поперечной деформациями зави­сит от свойств материала, связь определяется коэффициентом Пуас­сона, называемом коэффициентом поперечной деформации.

Коэффициент Пуассона: у стали μ от 0,25 до 0,3; у пробки μ = 0; у резины μ = 0,5.

3. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют на работоспособность детали; при необходимости поперечная дефор­мация рассчитывается через продольную.

где Δа — поперечное сужение, мм;

ао — начальный поперечный раз­мер, мм.

4. Закон Гука выполняется в зоне упругих деформаций, которая определяется при испытаниях на растяжение по диаграмме растяже­ния (рис. 21.2).

При работе пластические деформации не должны возни­кать, упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами тела. Основные расче­ты в сопротивлении материалов проводятся в зоне упругих де­формаций, где действует закон Гука.

На диаграмме (рис. 21.2) закон Гука действует от точки 0 до точки 1.

5. Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение ее с допускаемой (не нарушающей работоспособности бруса) называют расчетом на жесткость.

Примеры решения задач

Пример 1. Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис. 21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца.

Решение

1. Брус ступенчатый, по­этому следует построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Делим брус на участки нагружения, определяем продольные силы, строим эпюру продольных сил.

2. Определяем величины нор­мальных напряжений по сечениям с учетом изменений площади поперечного сечения.

Строим эпюру нормальных напряжений.

3. На каждом участке опре­деляем абсолютное удлинение. Результаты алгебраически сумми­руем.

Примечание. Балка за­щемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со сво­бодного конца (справа).

1. Два участка нагружения:

участок 1:

растянут;

участок 2:

2.

Три участка по напряжениям:

Пример 2. Для заданного ступенчатого бруса (рис. 2.9, а) построить эпюры продольных сил и нормаль­ных напряжений по его длине, а также определить пере­мещения свободного конца и сечения С, где приложена сила Р2. Модуль продольной упругости материала Е = 2,1 • 105 Н/’мм3.

Решение

1. Заданный брус имеет пять участков /, //, III, IV, V (рис. 2.9, а). Эпюра продольных сил показана на рис. 2.9, б.

2. Вычислим напряжения в поперечных сечениях каж­дого участка:

для первого

для второго

для третьего

для четвертого

для пятого

Эпюра нормальных напряжений построена на рис. 2.9, в.

3. Перейдем к определению перемещений поперечных сечений. Перемещение свободного конца бруса опреде­ляется как алгебраическая сумма удлинений (укорочений) всех его участков:

Подставляя числовые значения, получаем

4. Перемещение сечения С, в котором приложена сила Р2, определяется как алгебраическая сумма удлинений (уко­рочений) участков ///, IV, V:

Подставляя значения из предыдущего расчета, полу­чаем

Таким образом, свободный правый конец бруса пере­мещается вправо, а сечение, где приложена сила Р2, — влево.

5. Вычисленные выше значения перемещений можно полу­чить и другим путем, пользуясь принципом независимости действия сил, т. е. определяя перемещения от действия каждой из сил Р1; Р2; Р3 в отдельности и суммируя ре­зультаты. Рекомендуем учащемуся проделать это само­стоятельно.

Пример 3. Определить, какое напряжение возни­кает в стальном стержне длиной l = 200 мм, если после приложения к нему растягивающих сил его длина стала l1 = 200,2 мм. Е = 2,1*106 Н/мм2.

Решение

Абсолютное удлинение стержня

Продольная деформация стержня

Согласно закону Гука

Пример 4. Стенной кронштейн (рис. 2.10, а) со­стоит из стальной тяги АВ и деревянного подкоса ВС. Площадь поперечного сечения тяги F1 = 1 см2, площадь сечения подкоса F2 = 25 см2. Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки В, если в ней под­вешен груз Q = 20 кН. Модули продольной упругости стали Eст = 2,1*105 Н/мм2, дерева Ед = 1,0*104 Н/мм2.

Решение

1. Для определения продольных усилий в стерж­нях АВ и ВС вырезаем узел В. Предполагая, что стерж­ни АВ и ВС растянуты, направляем возникающие в них усилия N1 и N2 от узла (рис. 2.10, 6). Составляем уравнения равновесия:

откуда

Усилие N2 получилось со знаком минус. Это указы­вает на то, что первоначальное предположение о направ­лении усилия неверно — фактически этот стержень сжат.

2. Вычислим удлинение стальной тяги Δl1и укорочение подкоса Δl2:

где

Тяга АВ удлиняется на Δl1= 2,2 мм; подкос ВС уко­рачивается на Δl1= 7,4 мм.

3. Для определения перемещения точки В мысленно разъединим стержни в этом шарнире и отметим их новые длины. Новое положение точки В определится, если де­формированные стержни АВ1 и В2С свести вместе путем их вращения вокруг точек А и С (рис. 2.10, в). Точки В1 и В2 при этом будут перемещаться по дугам, которые вследствие их малости могут быть заменены отрезками прямых В1В’ и В2В’, соответственно перпендикулярными к АВ1 и СВ2. Пересечение этих перпендикуляров (точка В’) дает новое положение точки (шарнира) В.

4. На рис. 2.10, г диаграмма перемещений точки В изо­бражена в более крупном масштабе.

5. Горизонтальное пере­мещение точки В

Вертикальное

где составляющие отрезки определяются из рис. 2.10, г;

Подставляя числовые значения, окончательно получаем

При вычислении перемещений в формулы подстав­ляются абсолютные значения удлинений (укорочений) стержней.

Контрольные вопросы и задания

1. Стальной стержень длиной 1,5 м вытянулся под нагрузкой на 3 мм. Чему равно относительное удлинение? Чему равно относительное сужение? (μ = 0,25.)

2. Что характеризует коэффициент поперечной деформации?

3. Сформулируйте закон Гука в современной форме при растяжении и сжатии.

4. Что характеризует модуль упругости материала? Какова единица измерения модуля упругости?

5. Запишите формулы для определения удлинения бруса. Что характеризует произведение АЕ и как оно называется?

6. Как определяют абсолютное удлинение ступенчатого бруса, нагруженного несколькими силами?

7. Ответьте на вопросы тестового задания.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

ISopromat.ru

Законом Гука называют базовую зависимость в механике, устанавливающую взаимосвязь между усилиями и соответствующими им упругими деформациями.

Закон был открыт в 1660 году английским ученым Робертом Гуком.

Проведя серию экспериментов с растяжением и сжатием пружин, Гук заметил, что изменение их длины прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) их силе.

Свои наблюдения он оформил в виде закона: «Какова сила, таково и удлинение».

Современная формулировка закона существенно отличается от оригинала и зависит от дисциплины, в которой рассматривается зависимость деформаций от усилий.

Подробнее про закон Гука смотрите в нашем видео:

Закон Гука в физике

В современных учебниках физики Закон Гука имеет вид:

и формулируется следующим образом:

«При малых деформациях сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения его частиц»

Коэффициент k характеризует жесткость образца и зависит от его размеров и материала.

Например, для стержней, работающих на растяжение или сжатие, он может быть рассчитан по формуле:

где:

E — Модуль упругости I рода (модуль Юнга);

A — Площадь поперечного сечения бруса;

l — Длина стержня.

Знак минус означает, что силы упругого сопротивления направлены обратно растягивающей силе.

Закон Гука в сопромате

В технической механике и сопротивлении материалов в частности закон Гука гласит: «До определенного момента, называемого пределом пропорциональности, упругие деформации прямо пропорциональны напряжениям».

Здесь:

σ — Нормальные напряжения в сечении;

ε — Относительные продольные деформации.

Рассмотрим преобразование физической формы закона к его механическому виду.

Подставим вместо коэффициента k его выражение

Отношение продольной силы F к площади поперечного сечения A в левой части дает нормальные напряжения в сечении

Отношение абсолютных деформаций к начальной длине образца — это относительное изменение его длины

В таком виде закон Гука используется в сопромате и технической механике.

Закон выполняется только для напряжений не превышающих предела пропорциональности.

При растяжении и сжатии

При растяжении и сжатии закон Гука можно получить, вернув в его канонический вид геометрические параметры стержня (длину и площадь поперечного сечения), и записав получившееся выражение относительно линейной деформации:

Здесь

Δl- Абсолютная деформация стержня;

F — Продольная сила;

l — Длина стержня до нагружения;

E — Модуль продольной упругости материала;

A — Площадь поперечного сечения стержня.

При изгибе

При изгибе закон устанавливает зависимость между кривизной продольной оси и величиной изгибающего момента в соответствующем сечении балки.

где:

ρ — Радиус кривизны продольной оси балки в данном сечении;

M — Величина соответствующего внутреннего изгибающего момента;

E — Модуль Юнга;

Ix — Осевой момент инерции поперечного сечения балки.

Обобщенный закон Гука

Для общего случая нагружения изотропных материалов, когда напряженное состояние отличается от линейного (одноосного) применяется закон Гука в обобщённом виде.

ε — Относительные деформации вдоль соответствующих осей;

ν — Коэффициент Пуассона;

σ — Нормальные напряжения по соответствующим площадкам элемента.

Потому что деформации в поперечных направлениях тоже влияют на изменение продольных размеров.

Для чистого сдвига

γ — Угловое перемещение соответствующей площадки элемента;

τ — Касательные напряжения;

G — Модуль упругости II рода (модуль сдвига).

Испытание на растяжение >>

Диаграмма напряжений >>

Деформация растяжения-сжатия

В машиностроении, строительстве и архитектуре при расчетах прочности и жесткости материалов используется математический аппарат технической механики. Деформация растяжения — одно из ключевых понятий, характеризующее механические процессы, происходящие в материалах при приложении к ним внешних воздействий. Для наглядности изучаются изменения, происходящие в брусе с постоянным сечением, характерные для упругой деформации при приложении внешних усилий.

Закон Гука (английский физик Р. Гук, 1653-1703) для упругой деформации растяжения/сжатия гласит, что нормальное напряжение находится в линейной зависимости (прямо пропорционально) к относительному удлинению/укорочению. Математический аппарат технической механики описывает эту формулу следующим образом:

Коэффициент пропорциональности E (модуль упругости, модуль Юнга) — величина определяющая жесткость материала, единица измерения — паскаль (ПА).

Его значения были установлены эмпирическим путем для большинства конструкционных материалов, необходимую информацию можно почерпнуть в справочниках по машиностроению. Относительная деформация является отношением изменения длины бруса к его изначальным размерам, это безразмерная величина, которая иногда отражается в процентном соотношении.

При растяжении или сжатии у бруса меняется не только длина, но происходят поперечные деформации: при сжатии образуется утолщение, при растяжении толщина сечения становится меньше. Величины этих изменений находятся в линейной зависимости друг от друга, причем установлено, что коэффициент пропорциональности Пуассона (фр. ученый С. Пуассон, 1781-1840) остается всегда неизменным для исследуемого материала.

Внутренние усилия при растяжении и сжатии

При приложении к брусу с постоянным сечением внешних воздействий, действие которых в любом поперечном разрезе направлено параллельно его центральной оси и перпендикулярно сечению, с ним происходит следующий вид деформации: растяжение или сжатие. На основе гипотезы о принципе независимости внешнего воздействия для каждого из поперечных разрезов можно рассчитать внутреннее усилие как векторную сумму всех приложенных внешних воздействий. Растягивающие нагрузки в сопромате принято считать положительными, а сжимающие отрицательными.

Рассмотрев произвольный разрез бруса или стержня, можно сказать что внутренние напряжения равны векторной сумме всех внешних сил, сгруппированных по одной из его сторон. Это верно только с учетом принципа Сен-Венана (фр. инженер А. Сен-Венан, 1797-1886) о смягчении граничных условий, т.к. распределение внутренних усилий по поверхности разреза носит сложный характер с нелинейными зависимостями, но в данном случае значением погрешности можно пренебречь как несущественным.

Применяя гипотезу Бернулли (швейцарский математик, И. Бернулли, 1667-1748) о плоских сечениях, для более наглядного представления процессов распределения сил и напряжений по центральной оси бруса можно построить эпюры. Визуальное представление более информативно и в некоторых случаях позволяет получить необходимые величины без сложных расчетов. Графическое представление отражает наиболее нагруженные участки стержня, инженер может сразу определить проблемные места и ограничиться расчетами только для критических точек.

Все вышесказанное может быть применимо при квазистатической (система может быть описана статически) нагрузке стержня с постоянным диаметром. Потенциальная энергия системы на примере растяжения стержня определяется по формуле:

U=W=FΔl/2=N²l/(2EA)

Потенциальная энергия растяжения U концентрируется в образце и может быть приравнена к выполнению работы W (незначительное выделение тепловой энергии можно отнести к погрешности), которая была произведена силой F для увеличения длины стержня на значение абсолютного удлинения. Преобразуя формулу, получаем, что вычислить значение величины потенциальной энергии растяжения можно, рассчитав отношение квадрата продольной силы N помноженной на длину стержня l и удвоенного произведения модуля Юнга E материала на величину сечения A.

Как видно из формулы, энергия растяжения всегда носит положительное значение, для нее невозможно применить гипотезу о независимости действия сил, т.к. это не векторная величина. Единица измерения — джоуль (Дж). В нижней части формулы стоит произведение EA — это так называемая жесткость сечения, при неизменном модуле Юнга она растет только за счет увеличения площади. Величина отношения жесткости к длине бруса рассматривается как жесткость бруса целиком.

Напряжения при растяжении сжатии

Используя гипотезу Бернулли для продольной упругой деформации стержня, можно определить продольную силу N как равнодействующую всех рассредоточенных по сечению внутренних усилий. Гипотеза Бернулли совместно с гипотезой о ненадавливании волокон позволяет сказать, что σ в произвольной точке разреза будут постоянны, т.к. реакция продольных волокон одинакова на всем поперечном разрезе. Для определения величины нормального напряжения σ используется следующая формула:

Напряжение для упруго деформированного стержня описывается как отношение внутренней силы N к площади сечения A. Считается положительным при растяжении, при сжатии рассматривается как отрицательное.

Абсолютная деформация зависит от жесткости сечения, величины продольной силы и длины бруса. Зависимость можно описать по следующей формуле:

Δl=Nl/EA

Таким образом, методика расчета величины абсолютного изменения длины такова: необходимо просчитать отношение значения продольной силы N умноженной на длину стержня l и жесткости сечения (произведение модуля Юнга E на площадь сечения A).

В реальных расчетах на брус действует достаточно много разнонаправленных сил, для решения таких задач требуется построение эпюр, которые могут наглядно показать какие напряжения действуют на разных участках, чем обусловлена деформация при растяжении и сжатии.

В рамках такой квазистатической (условно статической) системы, как брус или стержень с переменным сечением или отверстием, потенциальная энергия растяжения может быть рассмотрена как сумма энергий однородных участков. При проведении расчетов важно правильно разделить стержень на участки и смоделировать все участвующие в процессе силы и напряжения. Для реальных расчетов построение эпюр — сложная задача, которая требует от инженера хорошего понимания действующих на деталь нагрузок. Например, вал со шкивами разного диаметра требует сначала определения критических точек и разбивки на соответствующие участки, затем построения графиков по ним.

Деформации при растяжении сжатии

При растяжении/сжатии бруса могут возникать 2 вида деформации. Первый — упругая, второй — пластическая. Для упругой деформации характерно восстановление первоначальных параметров после прекращения воздействия. В случае пластической стадии деформации материала он утрачивает и не восстанавливает форму и размеры. Величина воздействия для перехода одного вида в другой называется пределом текучести.

Для расчета перемещения при растяжении бруса или стержня следует использовать метод разделения на участки, в рамках которых осуществляется приложение внешних воздействий. В точках воздействия силы следует вычислить величину изменения длины, используя формулу: Δl=Nl/EA. Как видно она зависит от жесткости сечения, длины бруса или стержня и величины действующей продольной силы. Итоговым перемещением для бруса целиком будет сумма всех частичных перемещений, рассчитанных для точек приложения силы.

Поперечные деформации бруса (становится более толстым при сжатии и тонким при растяжении) также характеризуются абсолютной и относительной величиной деформации. Первая — разность между размером сечения после и до приложения внешних воздействий, вторая — отношение абсолютной деформации к его исходному размеру. Коэффициент Пуассона, отражающий линейную зависимость продольной и поперечной деформаций, определяет упругие качества материалов и считается неизменным для растяжения и сжатия. Продольные наиболее наглядно отражают процессы, происходящие в брусе или стержне при внешнем воздействии. Зная величину любой из них (продольной или поперечной) и используя коэффициент Пуассона, можно рассчитать значение неизвестной.

Для определения величины деформации пружины при растяжении можно применить закон Гука для пружин:

F=kx

В данном случае х — увеличение длины пружины, k — коэффициент жесткости (единица измерения Н/м), F — сила упругости, направленная в противоположную от смещения сторону. Величина абсолютной деформации будет равна отношению силы упругости к коэффициенту жесткости. Коэффициент жесткости определяет упругие свойства материала, используемого для изготовления, может быть использован для выбора материала изготовления в условиях решения конкретной задачи.

Расчеты на прочность и жесткость

Прочность характеризует способность конструкционного материала сопротивляться внешним воздействиям без разрушений и остаточных изменений. Жесткость находится в линейной зависимости от модуля Юнга и размера сечения. Чем больше площадь, модуль упругости не меняется, тем больше жесткость. В общем случае жесткость подразумевает способность деформироваться без значительных изменений. Коэффициент запаса прочности — безразмерная величина, равная отношению предельного напряжения к допустимому. Запас прочности характеризует штатный режим работы конструкции даже с учетом случайных и не предусмотренных нагрузок. Наименьшим запасом прочности обладают пластические (1.2-2.5) и хрупкие (2-5) материалы.

Применение в расчетах этих коэффициентов позволяет, например, рассчитать опасную толщину для стержня, при которой может возникнуть максимальное нормальное напряжение. Используя коэффициент прочности и возможное предельное напряжение возможно произвести расчет необходимого диаметра вала, который гарантированно обеспечит упругую деформацию и не приведет к пластической. Для инженеров-экономистов важны расчеты наименьших безопасных размеров деталей конструкции по заданным нагрузкам.

Большинство практических расчетов на прочность и жесткость производятся для получения минимальных значений геометрических размеров конструкционных элементов и деталей машин в условиях известных внешних воздействий и необходимого и достаточного запаса прочности. Может решаться обратная задача получения значений предельных нагрузок при условии сохранения геометрических размеров и для конкретного материала.

Сложные конструкции могут быть разделены на элементарные части, для которых будут производиться расчеты, затем полученные результаты интерпретируются в рамках всей системы, для этого удобно строить эпюры распределения внешних воздействий и внутренних напряжений статически определенной системы.

С помощью известной жесткости материала делают расчеты максимально возможной длины балки или стержня (вала) при условии неизменности его сечения. Для ступенчатых валов необходимо строить эпюры воздействия внешних сил и возникающих в точках их приложения внутренних напряжений в критических точках. От правильно построенной теоретической модели будет зависеть насколько эффективно и долго прослужит вал для станка, не разрушится ли он от динамических крутящих моментов. На этапе проектирования можно выявить потенциальные слабые точки и рассчитать необходимые параметры для заданного предела прочности.

С расчетами на прочность связаны такие понятия, как срез и смятие. Срез проявляется в виде разрушения детали соединения в условиях возникновения в ее поперечном сечении перпендикулярной к нему и достаточной силы.

При расчетах соединений используют пределы текучести используемых материалов и коэффициенты запаса прочности, вычисляют максимально возможные напряжения.

Исследования на прочность обычно подразумевают решение нескольких задач: в условиях проведения поверочного расчета на проверку прочности при известных усилиях и площади сечения оценивают фактический коэффициент запаса прочности; подбор оптимального диаметра при заданных нагрузках и допустимом напряжении; вычисляют грузоподъемность или несущую способность с помощью определения внутреннего усилия при известной площади сечения и напряжении.

Прочностные расчеты при разных видах воздействий в рамках условно статических систем сложны, требуют учета многих, иногда не очевидных, факторов, их практическая ценность заключается в вычислении допустимых размеров конструкционных материалов для заданных параметров запаса прочности.