Тема. Центральное растяжение (сжатие)

Растяжение-сжатие.

Внутренние усилия при растяжении-сжатии.

Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).

Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:

Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах

Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:

Расчёт статистически определимого бруса

Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)

Напряжения при растяжении-сжатии.

Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:

где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.

Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:

Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.

Деформации при растяжении-сжатии.

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l

Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:

При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии — отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:

где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).

Таблица 1

Модуль продольной упругости для различных материалов

Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:

Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:

При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:

Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).

Таблица 2

Коэффициент Пуассона.

Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:

Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:

Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Механические свойства материалов.

Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.

Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.

Пластичность — свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.

Хрупкость — свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).

Идеальная упругость — свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.

Твердость — свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.

Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.

Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)

где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой — на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:

где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.

Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.

Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):

При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:

При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:

Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.

Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:

Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.

Следующая важная статья теории:

Изгиб балки

—

1.

d F. , .

.

.

,

.

, .

, .

2.

, .

.

1. . z:

, ,

RE = 2qa.

2. Nz, , W.

Nz.

.

,

,

.

. . , Nz, . :

.

W.

.

. :

Wo = WE = 0,

W.

3.

, , , F1= 100 , F2= 50 , q= 40 /, = 1 , b = 2 , = 1,5 , = 2×105 , S= 0,2 2.

.

1. , , CD

2.

CD

CB

z2=1,5 , N2=-100 ,

z2=3,5 , N2=-20 ,

B

1)

2)

4.

(. ). 2 . : =40 , =60 , =50 ; =20 /.

:

. () () (. ).

(),

=0 ;

=2 ,

:

,

,

,

, , () . (. ), . , , , , , .

5.

(. ).

.

1. . , , -, N.

2. , .

3. . . , .

4. N. 1 (. ) N1 = F1 = 6; 2 (. ) N2 = F1 = 6. : N1, N2> 0, F1 . N1, N2, , ( ) . + (. ). . 3 (. ) N3 = F1 F2 = 6 10 = — 4; 4 (. ) N4 = F1 F2 = 6 10 = — 4 . N3, N4< 0. -. N1 N4 (. ).

5. .

6. . , . (1) F1 = 6 6; F2 =10 6 + 4 =10; , 4 (4) , . .

6.

.

.

1. -, N.

2. , .

3. .

4. . , . . . N1 = 0; .

5. N1, N2 , , (. .).

6. , .

7. : — , . , ( ).

7.

.

.

1. -.

2. .

3. .

4. : N1 = -F= -8 ; N2 = -F = -8 . , , , . ; . N3< 0, ; N4> 0 .

5. , (. .).

6. : , ; . (1) F = 8 , 8.

8.

Nz , .

.

, . Nz . (. ) (. ). DE , , .. NED = +F. D NDE = NED = F ND = ND 3F = 2F( dz, CD DE).

, 3F Nz, 3F . CD ND = ND= 2F. C ND = 2F N = ND+ 5F = 3F. 5F. C N = N=3F. , Nz : N= 3F N= N 2F = F. ( ), 2F . Nz .

9.

, , , , . .

.

z :

, , q = 3F/a.

Nz . CD , (q = 0). (q = const). D, , Nz , . . 2F , NAB = -2F. NB = NA = -2F . CD ND = 4F.

10.

, (), . (). .

.

1, 2, 3, 4 , . , ; . . . 1 F1 = 20 , . 12 , , .. q12 =(60-20)/2 = 20 /. . 2 F2 = 100 . 23 , . 3 F3 = 80 ( ). 34 q34 = (-40 — 40)/1 = -80 /, . , 4 F4 = 40 , .

11.

A1/A2=2 , . . , . ( .)

.

N . :

.

, , :

;

;

.

N . x.

,

.

, .

N. . N : , ; F1 = 10 , F2 = 40 , q1 = 15 /, q2 = 20 /.

, (. ). , (.. ) , .

. , . , . , , . , , , . , , , :

, ,

;

, .

A1, , . 2 : .

. ( ) , .

12.

, . .

.

. , . . , .

I I. , N1 (. ). , :

N1 = F.

, () N1 . N1= F I I (. ).

II II , , N2 (. ). :

N2 = F.

III III (. ):

N3 = F

IV IV (. ):

N4= 0.

N2, N3, N4 , (. ). , . . , , .

:

(. ) , ( III).

13.

I I , , = 20 = 2 , = 10 = 1 , = 10 = 1 , = 60º (. .).

) )

.

:

) ;

) , , (, );

) N, , .. , ;

) N:

; ;

= 1 = 10 ,

.. .

, , .

14.

, = 40 = 4 , = 30 = 3 , = 80 = 8 ; = 160 = 1600 /2 (. .).

.

1. , 3- (. ):

1 1 = 4000 = 40 ,

2 2 = 4000 + 3000 = 1000 = 10 ,

3 3 = 4000 + 3000 + 8000=7000 = 70 .

2. , , , , , , .. N (. ).

3. , ( ), ..

,

.

N3>N2>N1. 3, = 7000 = 70 .

; .

15.

(), F1 = 150 = 15 , F2 = 100 = 10 , = 30 c, b = 20 , = 15 A = 10 2 :

1. .

2. .

3. I I (. .).

) ) )

.

1. . ( + b) c. ,

= = 15103 = 150 ();

:

= = 15 20= 5 = 50 ().

(. ).

2. .

b 2=20 2.

:

(. ).

2. :

= 0,00973 0,00375 = 0,00562 = 0,0562 .

3. , I I b c, ..

16.

() 1 2 (. ).

:

1. N, σ ;

2. : 1=2 ; 2=3,2 , =160 .

.

N . .

.

.

.

.

. .

.

. .

17.

( /2) ; , 2, 2 (. .). . , ( ) /2, . .

.

1. , .

, , . :

.

2. .

(. ). , () .

(). .

1 1. ( ) (. ). 1 1 . , . . , . , 1 1 . ,

.

2 2 (. ). , (, 2 2 ). , , . , 2 2 , , . :

.

3 3 (. ). , . () R. :

.

, , , . . :

.

: , , , , , .

, , , . , , .

, , . , .

, z(. ). . , .

, ( ) .

.

, , , . , . , .

3. .

, k (),

,

k .

/2,

/2,

/2.

(. ). , . , N, , , .

4. .

( ) , , . , , , . , , . : .

/2.

.

/2 > /2,

, .

, , 2, .

, .

:

2.

2.

5. .

,

E , .

.

, 1,7 .

18.

(. .1) (), , F= 30 , l= 0,4 = 160 :

1. .

2. .

3. .

4. -.

N, ,

) ) )

.1

.

1. . N.

KL: , . , N1, , .. ( 2). , Z, N1:

; N1 = 0;

. 2 . 3

DK: KL DK; , N2 , ( 3) :

; 2F + N2= 0;

N2 = — 2F = -2×30 = — 60 .

N2 , , .. , . , N2 , .

. 4 .5

D: N3 KL DK ( 4).

; 2F 5F+ N3= 0;

N3 = 5F 2F = 3F = 3 ×30 = 90 .

N3. , N3 .

C: (. 5) :

; 2F 5F — F+ N4= 0;

N4 = 5F + F 2F = 4F = 4×30 = 120 .

N4 .

. , () ( 4,):

1. KL: N1 = 0;

2. DK: N2 = 60 . , .

3. D: N3 = 90 , , , .

4. : N4 = 120 .

: , .

2. . .

; .

KL DK: KL DK, ,

D:

:

3. .

:

.

.

() l :

.

KL: .. N1 = 0;

DK:

CD:

C:

:

(0 0,32 + 0,32 + 0,32 + 0,32)×10-3 = 0,32×10-3.

( ), .. , .. .

: .

:

;

;

.

(.1, ) ; .

4. . — D l0 (. 1,):

;

.

1 — . , (. .1,).

19.

. .

.

1.

, Z,

,

.

2. N N(z)

, , . . , ( 1, ).

.

.

, — (. ).

, . ,

.

3.

.

.

. , .

,

. , .

, .

,

.

,

.

, .

, 5,8 %.

.

,

.

4.

,

,

; i- ; i- ; i- , i- .

.

, − .

, . . .

.

.

− .

.

.

.

, — ( 1, ).

5.

(5), :

.

:

.

, .

20.

, , P q. .

.

1.

(. )

,

.

2.

. ( 1, )

.

, — .

. , .

. (. ).

.

, .

. . . :

; .

. .

.

:

1) ;

2) , .. − , ,

, , .

.

3.

.

− . .

(), , . h b. :

,

.

, . :

,

.

, .. . .

4.

:

,

.

. , , :

.

, .. . , .

.

.

− . ,

.

(. ). .

—

21.

d, CD , F, . , [] .

F :

—

,

—

.

o .

CD

.

mnrs,

.

, .

22.

A1/A2 =2 (. ). . .

.

. , . , , . .

,

,

.

, . , q , , N , , A1 , A2 (. ). g, (. ).

() . . . F , l; G . . , .. . , l1, , . F F1, F2 . l1: . ,

.

, F2, , , .

.

.

, , . , . , () ( . ) , :

.

, . .

23.

, . . a= 0,4 ; III IV = 20 2; F= 0,5 , = 0,0078 /3 = 76,44 /3.

.

. I I (. ) , N1 (. ). I I I, , x (. ), . , , , :

, 2, x. :

.

, . N1 (x = 0): N1(x= 0) = 500 (x = a= 0,5 ): N1 ( = 0,5 ) =

(. ). , , .

II II , I I. II II . (. )

, II II.

N2 (= 0,5 ):

( = max = 1 ):

N2 (. ).

III III (. )

; .

N3 N3(=0) = 194,2 ; N3 ( = a = 0,5 ) = 117,8 . N3 .

, , IV IV (. )

I I II II, .

.. N4 ( = 0,5 ) = 382,2 , N4 ( = 1 ) = 458,64 . N4 (. ).

, , .

:

, , (. ), .. .

24.

: (. .) 2l, A, F, q .

: N.

N

.

1.

Z:

2.

F, , q , , :

— , , N F ;

— , , N F, ,q.

3.

, , . N1N2 , , .

4. N

N :

— ;

— .

— ;

— .

— ;

.

N (. .).

. — . N :

.

—

25.

, . . . a = 0,5 ; = 10 2; F = 10 .

.

. . (1.7). . . , :

, , .. .

26.

, . . = 76440 /3.

.

. .

. (. ) , . . .

+ , , .. (. ).

(. ). . (. ) ,

, .

27.

, (. . ):

1. ;

2. Nz , ;

3. Nz ;

4. .

: = 20 ; l1 = l2 = l3 = 0,4 ; = /2; F1 = 2; F2 = 2; F3 = 2; = 78 /3 .

.

1. . Nz , , , , Fi g, , .

, =const, :

1 — 0 ( );

2 — ;

3 — D.

, .

2. Nz, sz , . .

1 (0 — ) .

1 — 1 z1 ( 0), . , , (. ). z , :

.

, :

.

:

,

:

/2.

, z1 , () , ..

z1 = 0

z1 = 0,4 ;

/2.

, , . . , .

2 ( — ) .

2-2 z2 (. ). .

: ; ; = 20 , .

:

,

= = .

, :

/2.

:

z2 = 0,4 ,

/2;

z2 = 0,8 ,

/2.

3 ( — D) .

(. ) , :

,

.

:

/2.

:

z3 = 0,8 (0,8) = -19,5 (0,8 + 0,43364) = -24,056 ,

(0,8) = -78 (0,8 + 0,43364) = -96,224 /2;

z3 = 1,2 (1,2) = -19,5 (1,2 + 0,43364) = -31,856 ,

/2.

3. Nz . z Nz (. . , ). :

— Nz ;

— .

(. , ) , .

4. .

.

:

, , Nz Ei Fi . ,

.

28.

, .

.

(). dx:

dG dx:

,

, .

, = 0 () = 0, .. .

, ()

,

.. .

— » -«

: KarimovI@rambler.ru

: , 450071, ., 21