Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? | Содержание
Задача № 2 Расчет оптимального сечения ступенчатого стержня при деформации растяжение и сжатие. Задание:Определить оптимальный диаметр сечения круглого стержня на каждом участке по условию прочности. Определить продольные деформации, возникающие на каждом участке стержня. Стержень изготовлен из стали: Е = 2*105 МПа; σТ = 240 МПа. Допускаемый коэффициент запаса статической прочности [n] выбрать самостоятельно ([n]= 1,2…1,8). Весом стержня пренебречь. Схема стержня приведена на рис. 2. Исходные данные:F1=17 кН; F2=28 кН; F3=7кН; l1=130 см=1,3 м; l2=140 см=1,4 м; l3=65 см=0,65 м. Решение:Для определения продольной силы используем метод сечений. Эпюру продольных сил необходимо строим, руководствуясь правилом: продольная сила в любом сечении стержня равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения на ось стержня. Продольная сила считается положительной, если она соответствует деформации растяжения (направлена от сечения) и отрицательной, если она вызывает сжатие (направлена к сечению). 1.Разобьем стержень на отдельные участки, начиная от свободного конца. Границы участков определяются точками приложения внешних сил. Всего по длине стержня в данной задаче будет три участка. Проведя сечения и отбрасывая левые части стержня, можно определить продольные силы в его поперечных сечениях без вычисления опорных реакций в заделке. 1 участок (сечение 1-1) : NI = -F3 = -7 кН. на первом участке осуществляется деформация сжатия. 2 участок (сечение 2-2): N2 = -F3 +F2 = -7+28=21 кН. на втором участке осуществляется деформация растяжения. 3 участок (сечение 3-3) N3 =-F3 +F2+F1 = -7+28+17=38 кН. на третьем участке осуществляется деформация растяжения. Таким образом, в заделке действует реакция равная N3 =38кН. Эпюра продольных сил показана на рис.1. Эпюру продольных сил строим в масштабе = . 2. Допускаемое напряжение вычисляем по формуле: . Допускаемые напряжения при сжатии и растяжении для пластичного материала, при условии, что коэффициент запаса n=1,8. =240/1,8=133,3Мпа 3. Требуемая площадь сечения определяется из формулы условия прочности на растяжения. Þ Площадь круглого сечения А= 1 участок: Принимаем d1=0,09м, А1= 2 участок: Принимаем d2=0,015 м, А2= 3 участок: Принимаем d1=0,02м, А3= Удлинения (укорочения) части стержня определяем по формуле ,где — соответственно длина участка, внутреннее усилие, площадь поперечного сечения, Е-модуль упругости материала. Укорочение 1 участка . Удлинение 2 участка Удлинение 3 участка . В правом конце стержня заделка, перемещение в этом конце отсутствует. Поэтому построение эпюры смещения стержня необходимо строить, начиная с левого конца. На третьем участке смещение изменяется от нуля до =7,87*10-4 м; на втором участке: от =7,87*10-4м до =16,17*10-4 м; на первом участке: от 16,17*10-4 м до 7,87*10-4 +8,3*10-4 -3,55*10-4=12,62*10-4 м. Эпюры смещения строим в масштабе: = . Ответ: Полное удлинение стержня составило 12,62*10-4м. Задача № 3 Расчет статически определимой стержневой системы, Задача № 4 Расчет вала на прочность и жесткость. Задание:Определить диаметры ступенчатого вала из условия прочности и жесткости на кручение. Определить угол закручивания вала. Вал изготовлен из стали: [Θ] = 1,75 *10-2 рад/м, G = 8 *1010 Па Схема вала приведена на рис. 4. Исходные данные: а=1,4м; b=0,6м, c=0,6м, М1 =360Н*м; М2 = 400Н*м; М3 = 400Н*м; М4 = 500Н*м; [t] = 55 Мпа. Решение. 1. Определение внутренних крутящих моментов по участкам. Для определения знака крутящего момента примем следующее правило: если смотреть на отсеченную часть бруса со стороны внешней нормали к сечению, то момент сечении будет положителен в том случае, когда сумма внешних скручивавших моментов поворачивает отсеченную часть бруса по часовой стрелке, и отрицателен при повороте части бруса в противоположном направлении. Неизвестный момент М5 в заделке найдем из уравнения равновесия для всего вала. Условно примем направление момента М5 за отрицательное. Тогда уравнение равновесия принимает вид -М1 +М2 +М3 -М4-М5 = 0 Из решения этого уравнения получим М5 =-М1 +М2 +М3 -М4=-360+400+400-500= -60Н*м. Для построения эпюры крутящих моментов применяем метод сечений к каждому участку вала в отдельности (следует заметить, что построение эпюры крутящих моментов совершенно аналогично построению эпюры продольных сил). Крутящие моменты в сечениях определяются как алгебраические суммы внешних моментов, приложенных по одну сторону от сечения. Определим крутящие моменты на каждом участке, проведя последовательно сечения на четырехучастках вала и рассмотрим равновесие соответствующих оставшихся правых частей. В сечении 1-1: . В сечении 2-2: . В сечении 3-3: В сечении 4-4: По полученным данным строим эпюру крутящих моментов, откладывая по вертикальной оси значения моментов. Отрицательные моменты откладываем вниз по осевой линии (рис. 4). Эпюру моментов строим в масштабе = . 2. По найденным значениям крутящих моментов из расчетов на прочность и жесткость в каждом сечении определим диаметры валов. Расчет на прочность ведется по допускаемому напряжению при кручении где -крутящий момент, действующий в сечении бруса; -полярный момент сопротивления для круглого сечения, -диаметр вала. Из формулы выразим диаметр По формуле определим диаметры для всех сечений. Сечение 1-1: 0,0359м, принимаем d1=0,036м. Сечение 2-2: 0,021м, принимаем d2=0,022м. Сечение 3-3: 0,0303м, принимаем d1=0,032м. Сечение 4-4: 0,0177м, принимаем d4=0,018м. 3. Расчет на жесткость ведется по допускаемому относительному углу закручиванию , где -полярный момент сопротивления круглого сечения. В соответствии с формулой определим диаметр вала из условия жесткости По формуле определим диаметры для всех участков. Сечение 1-1: 0,0437м, принимаем d1=0,045м. Сечение 2-2: 0,0292м, принимаем d2=0,03м. Сечение 3-3: 0,0384м, принимаем d1=0,04м. Сечение 4-4: 0,0257м, принимаем d4=0,026м. 4. В соответствии с расчетами на прочность и жесткость выбираем наибольшее значение диаметров для каждого участка. В результате получим следующие значения: 5. Абсолютные углы закручивания для каждого участка можно определить по формуле , где — длина участка. Полярные моменты инерции для каждого сечения Сечение 1-1: м4; Сечение 2-2: м4. Сечение 3-3: м4; Сечение 4-4: м4. Далее определим углы закручивания. = -0,0218 рад — угол поворота сечения В относительно сечения А (или угол закручивания участка АВ). = -0,0095 рад — угол поворота сечения С относительно сечения В (или угол закручивания участка ВС). = 0,009 рад — угол поворота сечения D относительно сечения C (или угол закручивания участка CD). =- 0,0233 рад — угол поворота сечения Е относительно сечения D (или угол закручивания участка DЕ). Строим эпюру углов закручивания для всего вала (рис. 4). За начало координат выбран крайний левый конец бруса (сечение D). В пределах каждого из участков бруса эпюра линейна, поэтому достаточно знать углы поворота только для граничных сечений участков. В сечении от Е до D полный угол закручивания вала равен -0,0233 рад; В сечении от Е до С полный угол закручивания вала равен -0,0233+0,009=-0,0143 рад; В сечении от Е до В полный угол закручивания вала равен — 0,0233+0,009-0,0095=-0,0238 рад; В сечении от Е до А полный угол закручивания вала равен — 0,0233+0,009-0,0095-0,0218=-0,0456рад. Ординаты этой эпюры дают значения углов поворота соответствующих поперечных сечений вала. Эпюру углов поворота строим в масштабе = . Ответ: и полный угол закручивания -0,0456 рад. Список литературы 1. Сопротивление материалов: учебное пособие для вузов/ Н.Н.Вассерман и др. — Пермь: Изд-ва ПНИПУ, 2011 — 364 с. 2. Прикладная механика: Учеб. Для вузов/ В.В.Джамай, Ю.Н.Дроздов, Е.А.Самойлов и др. — М. Дрофа, 2004. — 414 с. 3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999 — 592 с. Содержание
Задача № 1 Проверка прочности ступенчатого стержня при деформации растяжение и сжатие. Задание:Оценить прочность ступенчатого стержня из хрупкого материала. Определить его деформацию. Стержень изготовлен из чугуна: Е = 1,2*105 МПа; σвр= 113 МПа; σвсж= 490 МПа. Допускаемый коэффициент запаса статической прочности [n] выбрать самостоятельно (в данной задаче принимаем [n]= 1,2…1,8). Весом стержня пренебречь. Схема стержня приведена на рис. 1. Исходные данные: l1=0,5м; l2=0,2м; l3=0,4м; А=4*10-4м2; А1=А= =4*10-4м2; А2=3А=12*10-4м2; А3=1,5А=6*10-4м2; F1=30кН; F2=60кН; F3=20кН. Решение. Разобьем стержень на отдельные участки, начиная от свободного конца. Границы участков определяются точками приложения внешних сил или местами изменения размеров поперечного сечения. Всего по длине стержня в данной задаче будет три участка. Проведя сечения и отбрасывая левые части стержня, можно определить продольные силы в его поперечных сечениях без вычисления опорных реакций в заделке. Для того, чтобы определить усилие NI, проводим сечения в пределах первого участка. Рассмотрим равновесие оставшейся правой части стержня. Из уравнения равновесия оставшейся правой части выразим внутреннюю продольную силу NIчерез внешние силы, приложенные к оставленной части NI =- F1 = -30 кН Так как положительное направление совпадает с деформацией растяжения, то знак минус означает, что на первом участке осуществляется деформация сжатия. Аналогично находим внутреннее усилие NII, действующее на втором участке. Для этого проводим произвольное сечение на втором участке и рассматриваем равновесие оставшейся правой части стержня . Уравнение равновесия в проекции на ось стержня для второго участка -F1 + F2 -NII = 0 Решая это уравнение, получим NII = -F1 -F2 = -30+60 = 30 кН. на втором участке осуществляется деформация растяжения. Для того, чтобы определить внутреннее усилие NIII, действующее на третьем участке рассмотрим равновесие оставшейся части стержня. -F1 +F2 + F3 — NIII = 0. Решая это уравнение, получим NIII =-F1 + F2 +F3 = -30+60 +20=50 кН. Таким образом, в заделке действует реакция равная NIII =50 кН. на третьем участке осуществляется деформация растяжения. Эпюра продольных сил показана на рис.1. Эпюру продольных сил строим в масштабе = Чтобы определить напряжение в поперечных сечениях бруса, нужно разделить числовые значения продольных сил на площади этих сечений. Для первого участка . Допускаемые напряжения при сжатии, при условии, что коэффициент запаса n=1,2 =490/1,2=408 Мпа. Условие прочности для первого участка выполняется . Недогруз конструкции на первом участке составил *100%= = 81,7%, что выше допустимого (10%). Для сечения 2-2: . На втором участке деформация растяжения. Допускаемые напряжения при растяжении, при условии, что коэффициент запаса n=1,2 =113/1,2=94,2 Мпа. Условие прочности для первого участка выполняется . Недогруз конструкции на втором участке составил *100%= = 73,4%, что выше допустимого (10%). Для сечения 3-3: . На третьем участке деформация растяжения. Допускаемые напряжения при растяжении =94,2 Мпа. Условие прочности для третьего участка выполняется . Недогруз конструкции на третьем участке составил *100%= =11,6 %, что выше допустимого (10%). Эпюра нормальных напряжений по длине бруса показана на рис. 1. Эпюры нормальных напряжений строим в масштабе: = . укорочение участков бруса определяются по формуле , где — соответственно длина участка, внутреннее усилие, площадь поперечного сечения, напряжение в сечении. Е-модуль упругости материала. укорочение первого участка . удлинение второго участка удлинение третьего участка . В левом конце стержня заделка, перемещение в этом конце отсутствует. Поэтому построение эпюры деформации стержня необходимо строить, начиная с левого конца. На третьем участке деформация изменяется от нуля до =27,78*10-5м; на втором от =27,78*10-5м до =31,95*10-5м; на первом от 31,95*10-5м до 27,78*10-5 +4,17*10-5-31,25*10-5=0,7*10-5м. Эпюры смещения строим в масштабе: = . Ответ: Полное удлинение бруса составило 0,7*10-5м и прочность стержня по допускаемым напряжениям выполняется. |
Тема 2.2. Растяжение и сжатие
§1. Продольные силы в поперечных сечениях
Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы N, а прочие силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.
Это самый простой и часто встречающийся вид деформации. Обычно он наблюдается когда внешняя нагрузка действует вдоль продольной оси стержня. Продольной осью стержня называется линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений.
Обычным является растяжение стержня силами, приложенными к его концам. Передача усилий к стержню может быть осуществлена различными способами, как это показано на рис. 1.
Рис. 1. Растяжение стержня
Во всех случаях, однако, система внешних сил образует равнодействующую F, направленную вдоль оси стержня. Поэтому независимо от условий крепления растянутого стержня, расчетная схема в рассматриваемых случаях (рис. 1, а, б) оказывается единой (рис. 1, в) согласно принципу Сен — Венана.
Если воспользоваться методом сечений (рис. 2), то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы Nz, равные силе F (рис. 2, б).
Сжатие отличается от растяжения, формально говоря, только знаком силы Nz. При растяжении нормальная сила Nz направлена от сечения (рис. 2, б), а при сжатии — к сечению.
Рис. 2. Нормальная сила N
Растягивающие продольные силы принято считать положительными (рис. 3, а), а сжимающие — отрицательными (рис. 3, б).
Рис. 3. Знак продольной силы N
При расчете стержней, испытывающий деформацию растяжения, на прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две основные задачи. Это определение напряжений (от Nz), возникающих в стержне, и нахождение линейных перемещений в зависимости от внешней нагрузки.
Продольные силы (Nz), возникающие в поперечных сечениях стержня, определяются по внешней нагрузке с помощью метода сечений.
График, показывающий изменение продольных сил по длине оси стержня, называется эпюрой продольных сил (эп. Nz). Он дает наглядное представление о законе изменения продольной силы.
Осью абсцисс служит ось стержня. Каждая ордината графика — продольная сила (в масштабе сил) в данном сечении стержня.
Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие (например, найти Nmax при растяжении-сжатии). Сечение, где действует максимальное усилие будем называть опасным.
Перед построением эпюр необходимо освободить брус, в котором будем строить эпюры от опорных связей (выделить объект равновесия) и приложить к нему все действующие внешние силы (активные и реактивные). Затем необходимо установить границы участков, в пределах которых закон изменения внутренних сил постоянный. Границами таких участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы или начинается и кончается распределенная нагрузка, а также сечения, где имеется перелом стержня.
Применяя метод сечений и учитывая правила знаков изложенные выше, получаем уравнения изменения внутренних сил в пределах длины каждого участка бруса. Затем, используя, полученные зависимости строим графики (эпюры) этих усилий. Ординаты эпюр в определенном масштабе откладываем от базисной линии, которую проводим параллельно оси бруса.
На основании метода сечений продольная сила в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных к стержню по одну сторону от рассматриваемого сечения, на его продольную ось.
Причем проекция внешней силы берется со знаком плюс, если сила растягивает часть стержня от точки ее приложения до рассматриваемого сечения и, наоборот, со знаком минус — если сжимает.
§2. Напряжение в поперечных сечениях стержня
При растяжении или сжатии осевыми силами стержней из однородного материала поперечные сечения, достаточно удаленные от точек приложения внешних сил ,остаются плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации. Это положение называют — гипотезой плоских сечений. На основании указанного можно заключить, что все точки какого-либо поперечного сечения стержня находятся в одинаковых условиях и, следовательно, напряжения распределяются по сечению равномерно. Эти напряжения перпендикулярны поперечному сечению, а значит, являются нормальными напряжениями. Их значения найдем, разделив продольную силу N на площадь А: σ=N/A
Продольная сила N с помощью метода сечений всегда может быть выражена через внешние силы. В формулe следует подставлять алгебраическое значение N т.е со знаком плюс в случае растяжения и со знаком минус в случае сжатия
§3. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии
Прочность стержня при осевом растяжении и сжатии обеспечена, если для каждого его поперечного сечения наибольшее расчетное (рабочее) напряжение σ не превосходит допускаемого [σ] : σ=N/A≤ [σ],
где N — абсолютное продольной силы в сечении;
А — площадь поперечного сечения;
[σ] — допускаемое напряжение пр растяжении или сжатии для материала стержня.
Данное выражение определяет условие прочности при растяжении или сжатии.
С помощью этой формулы решается три вида зада (выполняется три вида расчета):
1. Проверка прочности (проверочный расчет). При заданных продольной силы N и площади поперечного сечения А определяют рабочее (расчетное) напряжение и сравнивают его с допускаемым [σ].
Превышение рабочего (расчетного) напряжения не должно быть больше 5% , иначе прочность рассчитываемой детали считается недостаточной.
В случаях, когда рабочее напряжения значительно ниже допускаемых σ<<[σ], получаются неэкономичные конструкции чрезмерным необоснованным расходом материала. Такие решения являются нерациональными. Следует стремится к максимальному использованию прочности материала и снижения материалоемкости конструкций.
2. Подбор сечения (проектный расчет). Исходя из условия прочности можно определить необходимые размеры сечения, зная продольную силу N и допускаемое напряжение [σ]:
A≥N/[σ]
3. Определение допускаемой продольной силы. Допускаемое значение продольной силы в поперечном сечении стержня можно найти по формуле: [N]≤ [σ]·A
Значения допускаемых напряжение для некоторых материалов приведены в табл. 1.
Допускаемые напряжения назначаются на основе результатов механических испытаний образцов соответствующих материалов.
§4. Деформации и перемещения. Закон Гука
Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко заделанным, и другим — свободным, к которому приложена центральная продольная сила Р (рис. 4). До нагружения стержня его длина равнялась l — после нагружения она стала равной
(рис. 4). Величину называют абсолютной продольной деформацией (абсолютным удлинением) стержня. В большинстве случаев оно мало по сравнению с его первоначальной длиной l (∆l<<l).
Рис. 4. Абсолютное удлинение стержня
Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых условиях, деформация
остается одной и той же по длине стержня и равной ε = Δl/l
Величина ε называется относительной продольной деформацией.
В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде (нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной линейной деформации
): σ=Eε
Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости материала первого рода (модуль продольной упругости). Его величина постоянна для каждого материала. Он характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформированию под действием внешней нагрузки. Так как величина ε безразмерная, то E — измеряется в тех же единицах измерения то и напряжение, т. е. в Паскалях (Па). Значения модуля упругости E для некоторых конструкционных материалов приведены в табл. 2.
Δl=Nl/EA
Выведенное соотношение показывает, что удлинение (укорочение) при растяжении (сжатии) зависит от величины продольной силы N, поперечного сечения А стержня, его длины l и модуля продольной упругости Е. Произведение ЕА называется жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
При растяжении и сжатии изменяются и поперечные размеры стержня. Поперечный размер, первоначально равный a , уменьшается до a1. Изменение поперечно размера Δ a= a- a1, а поперечная деформация равна ε┴= Δ a/ a.
Экспериментально установлено что отношение поперечной деформации к продольной при упругом растяжении или сжатии есть величина постоянная и обозначается µ: µ= ε┴/ ε
Следует учитывать, что продольные и поперечные деформации всегда противоположны по знаку. Иными словами, при растяжении, когда продольный размер стержня увеличивается, его поперечный размер уменьшается, и, наоборот , при сжатии продольный размер уменьшается, а поперечный -увеличивается .
Величина µ называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона. Коэффициент поперечной деформации для некоторых материалов имеет следующие значения:
сталь ….024-032,
медь….031-035,
бронза..032-035,
резина , каучук…047.
- А.В. Ланцова, Е.В. Санарова, Н.А. Оборотова и др. Разработка технологии получения инъекционной лекарственной формы на основе отечественной субстанции производной индолокарбазола ЛХС-1208 // Российский биотерапевтический журнал. 2014. Т. 13. № 3. С. 25-32.
- М.П. Киселева, З.С. Смирнова, Л.М. Борисова и др. Поиск новых противоопухолевых соединений среди производных N-гликозидов индоло[2,3-а] карбазолов // Российский онкологический журнал. 2015. № 1. С. 33-37.
- Sprengel, «Pragmatische Geschichte der Heilkunde».
- https://infopedia.su/2x2ee9.html.
- https://www.sites.google.com/site/tehmehprimizt/lekcii/soprotivlenie-materialov/rastazenie-i-szatie.
- Guardia, «La Médecine à travers les âges».
